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《數(shù)值分析2計算方法課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第二章非線性方程的數(shù)值解法考察下列方程f(x)=0f(x)可以是代數(shù)多項式，也可以是超越函數(shù)。求解精確解一般不可能，只能尋求數(shù)值解?！?.1二分法若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0則方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上至少有一個實數(shù)根。二分過程：（假定有根區(qū)間僅一個實數(shù)根x*）如果f(a)f((a+b)/2)<0，則在區(qū)間[f(a),f((a+b)/2]上有實數(shù)根。如果f((a+b)/2)f(b)<0，則在區(qū)間[f((a+b)/2,f(b)]上有實數(shù)根。于是，新的有根區(qū)間僅為原有根區(qū)間的一半，記作[a1,b1]，
2、重復上述二分過程，可得區(qū)間寬度不斷減半的有根區(qū)間序列[a,b][a1,b1][a2,b2]…[ak,bk]…其中令有根區(qū)間[ak,bk]的中點xk=(ak+bk)/2為x*的近似值，在上述二分過程中，得到如下x*的近似值序列x0,x1,x2,…,xk,…由于對于預先設定的精度ε>0，只要便有此時xk為滿足精度要求的近似解。kakbkxkf(xk)的符號01.00001.50001.2500-11.25001.50001.3750+21.25001.37501.3125-31.31251.37501.3438+41.31251.34381
3、.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-表2.1x6=1.324≈x*
4、x*-x6
5、≤≈0.0039≤0.005例2.1用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在區(qū)間[1,1.5]內的一個實根，要求誤差不超過0.005。解：由公式（2.3）估計二分的次數(shù)于是，只要二分6次即可達到精度要求，二分過程見表2.1§2.2Jacobi（簡單）迭代法1、Jacobi迭代法的基本原理考察方程f(x)=0x=φ(x)在根x*的附近取一點x0作為x*的預測值，有x1=φ(x0)重復上述步驟，有如下迭代
6、公式xk+1=φ(xk)(k=0,1,2,…)其中φ(x)為迭代函數(shù)，x0,x1,…,xk,…為迭代序列。等價形式如果迭代序列{xk}的極限存在，即x*=xk則迭代過程收斂。如果迭代序列{xk}的極限不存在，迭代過程發(fā)散。(a)迭代收斂(b)迭代發(fā)散例2.2求方程f(x)=x3-x-1=0在x=1.5附近的根x*的近似值。解：將方程f(x)=0改寫為如下等價形式x=(x+1)(1/3)迭代公式為xk+1=(xk+1)(1/3)(k=0,1,2,…)取x0=1.5，計算過程用6位有效數(shù)字表示，迭代結果見表2.2表2.2k012345678
7、x(k)1.500001.357211.330861.325881.324941.324761.324731.324721.32472如果將原方程改寫為如下等價形式x=x3-1則有迭代公式xk+1=(xk)3-1迭代初值x0=1.5，則有x1=2.357,x2=12.39,…迭代過程發(fā)散。2、Jacobi迭代過程的收斂性定理2.1如果迭代函數(shù)φ(x)滿足如下條件（1）對任意x[a,b]，有a≤φ(x)≤b（2）存在正數(shù)L<1，使對任意x[a,b]，有
8、φ’(x)
9、≤L<1則迭代過程xk+1=φ(xk)對任意x0[a,b]均收斂于方程x=
10、φ(x)的根x*，且有如下誤差事后估計式證：由微分中值定理
11、x*-xk
12、=
13、φ(x*)-φ(xk-1)
14、=
15、φ’(ξ)(x*-xk-1)
16、≤L
17、x*-xk-1
18、式中ξ為x*與xk-1之間的一點。據(jù)此反復遞推
19、x*-xk
20、≤L
21、x*-xk-1
22、≤L2
23、x*-xk-2
24、≤…≤Lk
25、x*-x0
26、顯然，當k→∞時，xk→x*,迭代序列{xk}收斂于x*。為確保收斂，全體迭代值xk應在[a,b]上取值，為此對任意x[a,b]，均有φ(x)[a,b]。對任意正整數(shù)p，有
27、xk+p-xk
28、≤
29、xk+p-xk+p-1
30、+
31、xk+p-1-xk+p-2
32、+
33、…+
34、xk+1-xk
35、=(Lp-1+Lp-2+…+1)
36、xk+1-xk
37、固定k并令p→∞,有定義2.1稱迭代過程在根x*的附近具有局部收斂性，指的是如果存在鄰域△:
38、x-x*
39、≤δ，迭代過程xk+1=φ(xk)對任意初值x0△收斂。由此可見，只要前后兩次迭代值得差值足夠小，就可使近似值xk+1達到任意精度。一般情形下，用
40、xk+1-xk
41、<ε來控制迭代精度。定理2.2設φ(x)在方程x=φ(x)根的附近有連續(xù)的一階導數(shù)，且
42、φ’(x)
43、<1則迭代過程xk+1=φ(xk)具有局部收斂性。例2.3求方程x=e-x在x=0.5附近的一個根，要
44、求精度ε=10-5。解：通過搜索方法，得有根區(qū)間[0.5,0.6]，且有φ’(x)≤=exp(-0.5)<1迭代公式xk+1=e-xk對迭代初值x0=0.5收斂。由此得Newton迭代格式Newton迭代法
