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1、數(shù)值分析上海大學(xué)機自學(xué)院第一章緒論§1.1課程主要內(nèi)容1、非線性方程數(shù)值解法2、線性方程組的數(shù)值解法3、插值方法4、數(shù)值積分5、常微分方程初值問題的數(shù)值解法§1.2數(shù)值算法概論數(shù)值算法是利用計算機求解數(shù)學(xué)問題近似解的方法，所獲近似解也稱為原問題的數(shù)值解或逼近解。重點研究數(shù)值算法構(gòu)造及其相關(guān)理論，包括誤差分析，算法收斂性和穩(wěn)定等。實際問題數(shù)學(xué)模型構(gòu)造數(shù)值算法程序設(shè)計獲取近似解數(shù)值算法，不僅僅是單純的數(shù)學(xué)公式，而是指解題方案準確而完整的描述。算法優(yōu)劣主要取決于:1、計算開銷2、誤差控制數(shù)值方法是一門與計算機應(yīng)用密切結(jié)合的實用性很強的學(xué)科；思維方法是歸納法，核心問題是“誤差
2、”或誤差分析。數(shù)值方法這門課程討論連續(xù)變量問題又要討論離散變量問題，關(guān)心的是數(shù)值結(jié)果。數(shù)值分析、計算數(shù)學(xué)、計算方法或數(shù)值方法這門課程已成為近代數(shù)學(xué)的一個重要分支。例1.1多項式求值的秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn算法①：令tk=xkuk=a0+a1x+…+akxk則得遞推公式tk=xtk-1uk=uk-1+aktk初值t0=1,u0=a0(k=1,2,…,n)顯然，由算法①計算n次多項式P(x)值所需的乘法次數(shù)為2n。算法②（秦九韶算法，我國宋代數(shù)學(xué)家）P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxnP(x)=a0+x(a1+a2x+…+anx
3、n-1)P(x)=a0+x(a1+x(a2+…+anxn-2))P(x)=a0+x(a1+…+x(an-1+anx)…)顯然，由里層往外一層一層的計算，僅需n次乘法運算，比算法①節(jié)省一半的計算量。秦九韶算法令(p=0)v0=an(p=1)v1=anx+an-1=v0x+an-1(p=2)v2=(anx+an-1)x+an-2=v1x+an-2……(p=k)vk=vk-1x+an-k......(p=n)vn=vn-1x+a0v0=anvk=vk-1x+an-k(k=1,2,…,n)P(x)=vn例1.2計算積分解：通過直接計算可產(chǎn)生如下遞推公式，（1.1）由經(jīng)典微積分
4、知識可推得In具有如下性質(zhì)(1)(2)單調(diào)遞減(3)(4)直接根據(jù)公式(1.1)，從n=1計算到n=30。結(jié)果為表1-1從n=18開始，計算值出現(xiàn)異常。原因是從第n-1步計算到第n步時，第n-1步的誤差被放大了5倍。nInnInnIn18.8392e-002111.4071e-002212.6406e-00225.8039e-002121.2977e-00222-8.6575e-00234.3139e-002131.2040e-002234.7635e-00143.4306e-002141.1229e-00224-2.3401e+00052.8468e-002151.
5、0522e-002251.1740e+00162.4325e-002169.8903e-00326-5.8664e+00172.1233e-002179.3719e-003272.9336e+00281.8837e-002188.6960e-00328-1.4667e+00391.6926e-002199.1515e-003297.3338e+003101.5368e-002204.2426e-00330-3.6669e+004算法改造：由性質(zhì)(4)，取遞推公式改寫為（1.2）從n=30計算到n=1。由于該算法每向后推進一步，其誤差便減少5倍，可期望獲得符合原積分性態(tài)
6、的數(shù)值結(jié)果。計算結(jié)果見表1-2。表1-2由此列可知，算法的設(shè)計十分重要，關(guān)系到計算結(jié)果是否真實可信。nInnInnIn18.8392e-002111.4071e-002217.6314e-00325.8039e-002121.2977e-002227.2974e-00334.3139e-002131.2040e-002236.9913e-00343.4306e-002141.1229e-002246.7100e-00352.8468e-002151.0521e-002256.4501e-00362.4325e-002169.8963e-003266.2108e-003
7、72.1233e-002179.3419e-003275.9829e-00381.8837e-002188.8462e-003285.7998e-00391.6926e-002198.4005e-003295.4839e-003101.5368e-002207.9975e-003305.9140e-003§1.3誤差實際問題的求解過程中，一般會產(chǎn)生誤差。誤差的產(chǎn)生是正常的，不可避免的。實際問題數(shù)學(xué)模型問題的解模型誤差觀測誤差截斷誤差舍入誤差本課程中，僅考慮數(shù)值計算過程所帶來的誤差，即截斷誤差和舍入誤差。截斷誤差計算過程中，往往將解題方案加工成算術(shù)運算
