lec20 線性方程組的最小二乘解.ppt

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1、幾何與代數(shù)主講:2010年國家級精品課程教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時分配第四章n維向量教學(xué)內(nèi)容學(xué)時數(shù)§4.1n維向量空間2§4.2向量組的線性相關(guān)性4§4.3子空間的基和維數(shù)2§4.4向量的內(nèi)積2§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)2§4.6線性方程組的最小二乘解1基礎(chǔ)解系本質(zhì)是解向量組的極大無關(guān)組,維數(shù)為n-r(A)r(A,b)=r(A)+1?Ax=b無解?b不能由A的列向量組線性表示?直線(或平面)間無公共點(diǎn);(2)r(A,b)=r(A)=n?Ax=b有唯一解?b可由A的列向量組唯一地線性表示?直線(或平面)間有唯一公共點(diǎn);(3)r(A,b)=r(A)

2、窮多解,且通解中含有n?r(A)個自由變量,Ax=0的基礎(chǔ)解系有n?r(A)個解向量?b可由A的列向量組線性表示,但表示方式不唯一?直線(或平面)重合或平面交于一條直線.x=?0+k1?1+…+kn?r?n?r.一.解的存在性和唯一性二.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系三.非齊次線性方程組的一般解一.線性方程組無解時的近似解定理4.13.設(shè)A?Rm?n,b?Rm,則(1)r(A,b)=r(A)+1?Ax=b無解;(2)r(A,b)=r(A)=n?Ax=b有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)

3、b能由向量組I:?1,…,?n線性表示?r(A)=r(A,b)Ax=b有解.b?L(?1,?2,…,?n)=R(A)={Ax

4、x?Rn}??b不能由向量組I:?1,…,?n線性表示?r(A)?r(A,b)Ax=b無解.b?L(?1,?2,…,?n)=R(A)={Ax

5、x?Rn}??線性方程組近似解的應(yīng)用——曲線擬合例.已知某銅棒的電阻與溫度關(guān)系為：實(shí)驗(yàn)測得7組數(shù)據(jù)，試確定參量R0,?使得這7組觀測點(diǎn)到該直線的距離最小。第四章n維向量§4.6線性方程組的最小二乘解?r(A)?r(A,b)Ax=b無解b?R(A)={Ax

6、x?Rn}?t/℃19.125.1

7、30.136.040.045.150.1Rt/?76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：即Ax=br(A)?r(A,b)Ax=b無解?xA例.已知某銅棒的電阻與溫度關(guān)系為：實(shí)驗(yàn)測得7組數(shù)據(jù)，試確定參量R0,?使得這7組觀測點(diǎn)到該直線的距離最小。第四章n維向量§4.6線性方程組的最小二乘解t/℃19.125.130.136.040.045.150.1Rt/?76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：Ax=?=b無解問題：要找一個近似解??R(A)={Ax

8、x?Rn}，使得?線性方程組近似解

9、的應(yīng)用——曲線擬合一.線性方程組無解時的近似解問題：能否找一個近似解??R(A)，使得第四章n維向量§4.6線性方程組的最小二乘解b能由向量組I:?1,…,?n線性表示?r(A)=r(A,b)Ax=b有解.b?R(A)={Ax

10、x?Rn}??b不能由向量組I:?1,…,?n線性表示?r(A)?r(A,b)Ax=b無解.b?R(A)={Ax

11、x?Rn}????=b?

12、

13、b-?

14、

15、=0?

16、

17、b-?

18、

19、>0二.R3上b的正投影向量?問題：能否找一個近似解??R(A)={Ax

20、x?Rn}，使得第四章n維向量§4.6線性方程組的最小二乘解b不能由向量組I:?1,

21、…,?n線性表示?r(A)?r(A,b)Ax=b無解.b?R(A)={Ax

22、x?Rn}???

23、

24、b-?

25、

26、>0?=R(A)b??b-?b-?A3?2,r(A)=2,R(A)為一平面二.R3上b的正投影向量?問題：能否找一個近似解??R(A)={Ax

27、x?Rn}，使得第四章n維向量§4.6線性方程組的最小二乘解b?R(A)={Ax

28、x?Rn}??為b在平面?上的正投影向量?

29、

30、b-?

31、

32、>0?=R(A)b??b-?b-??b-?與?正交?????,=0b不能由向量組I:?1,…,?n線性表示????i??,=0,i=1,…,

33、n三.Rm上b的正投影向量?問題：能否找一個近似解??={Ax

34、x?Rn}，使得第四章n維向量§4.6線性方程組的最小二乘解??為b在R(A)上的正投影向量?=R(A)b??b-?b-??b-?與R(A)正交???i,=0???i,?iT(b-?)=0???i,?iT(b-Ax)=0總是有解的三.Rm上b的正投影向量?問題：能否找一個近似解??R(A)={Ax

35、x?Rn}，使得第四章n維向量§4.6線性方程組的最小二乘解??為b在R(A)上的正投影向量?=R(A)b??b-?b-??b-?與R(A)正交???i,?iT(b-Ax)=0A

36、x=b的正規(guī)方程Ax=b的最佳近似解就是ATAx=ATb的精確解.Ax=b的最小二乘解例.已知