初中數(shù)學(xué)最值問題解法探究.doc

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1、初中數(shù)學(xué)最值問題的解法探究江西省九江市同文中學(xué)羅序堂332000一提到最值問題，自然會(huì)聯(lián)想到求二次函數(shù)的最大值或最小值，其實(shí)這只是求最值問題的一個(gè)方面，實(shí)際上求最值要綜合運(yùn)用不等式、函數(shù)、三角形等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)還要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想。所以解決最值問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)他們解決數(shù)學(xué)問題的能力，本文從幾個(gè)方面探究最值問題的解法，以達(dá)到拋磚引玉之效。一、運(yùn)用配方法求最值例1．求多項(xiàng)式的最小值解析：這是一個(gè)多項(xiàng)式的最值問題，我們可以借助于配方法及非負(fù)數(shù)性質(zhì)來求解。二、運(yùn)用根的判別式求最值例2．設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么的最小值是_________________

2、.解析:此題應(yīng)構(gòu)造成關(guān)于a或b的一元二次方程形式,再利用判別式得出相應(yīng)不等式,從而問題得解.三、運(yùn)用不等式求最值例3.已知,求的最小值.解析:由及就聯(lián)想到,再由的非負(fù)性可得不等到式:一、運(yùn)用一次函數(shù)增減性求最值例4.做服裝生意的王老板經(jīng)營甲、乙兩個(gè)店鋪,每個(gè)店鋪在同一段時(shí)間內(nèi)能售出A、B兩種款式的服裝合計(jì)30件,并且每售出一件A款式和B款式服裝,甲店鋪獲毛利潤分別為30元和40元,乙店鋪獲毛利分別為27元和36元,某日王老板進(jìn)貨A款式服裝35件,B款式服裝25件,怎樣分配給每個(gè)店鋪各30件服裝,使得在保證乙店鋪獲毛利潤不小于950元的前提下,王老板獲取的毛利潤最大?最大利潤是多少

3、?解析:首先要建立銷售件數(shù)與銷售利潤的函數(shù)關(guān)系式,再由乙店鋪毛利潤不小于950件的前提下求銷售件數(shù)范圍,從而求最大值.設(shè)分配給甲店鋪A款式服裝x件（x取整數(shù),且5≤x≤30）則分配給甲店鋪B款式服裝（30-x）件,分配給乙店鋪A款式服裝（35-x）件,分配給乙店鋪B款式服裝[25-（30-x）]=（x-5）件.總毛利潤（設(shè)為y總）為:y總=30x+40（30-x）+27（35-x）+36（x-5）=-x+1965乙店鋪利潤設(shè)為y乙滿足y乙=27（35-x）+36（x-5）≥950,x≥對于y總=－x+1965,其值隨著x的增大而減小,要使y總最大,x必須取最小值.故取x=21,即

4、分配給甲店鋪A、B兩種款式服裝分別為14件和16件,此時(shí)既保證了乙店鋪獲利潤不少于950元,又保證了在此前提條件下,王老板獲取總毛利潤最大.y最大=－21+1965=1944元.二、利用二次函數(shù)求最值（2005河南省）例5.如圖:正方形ABCD的邊長為4㎝,點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B、C重合的任意一點(diǎn),連結(jié)AP,過P作PQ⊥AP交DC于Q,設(shè)BP的長為x㎝,CQ的長為y㎝⑴求點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)的過程中y的最大值;⑵當(dāng)y=1/4㎝時(shí),求x的值.解析:此題先利用三角形相似得出對應(yīng)線段成比例,然后建立二次函數(shù)關(guān)系式,再求二次函數(shù)極值.⑴∵PQ⊥AP且四邊形ABCD為正方形∴∠CPQ+∠APB

5、=90°又∵∠BAP+∠APB=90°∴∠CPQ=∠BAP又∵∠B=∠C=90°∴⊿ABP∽⊿PCQ∵AB=BC=4,BP=x,CQ=y⑵六、利用“兩點(diǎn)間線段最短”確定最值例6.如圖.在直角坐標(biāo)系中,有四個(gè)點(diǎn)A（－8,3）、B（－4,5）、C（0,n）、D（m,0）問當(dāng)m,n為何值時(shí),四邊形ABCD的周長最短.解析:解此題關(guān)鍵將三條邊轉(zhuǎn)化在一條線上,再用“兩點(diǎn)間線段最短”來確定最值.作點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A’,作點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B’,連接A’B’交x軸與y軸于D、C.所以AD=A’D,BC=B’C.因此,四邊形ABCD的三條邊長之和AD+DC+CD=A’B’.由兩點(diǎn)間線段最短,可

6、得此時(shí)四邊形ABCD的周長最短.七、利用絕對值非負(fù)性求最值例7.若不等式對一切實(shí)數(shù)x成立,則a的最大可能值.解:關(guān)于絕對值的問題,要利用絕對值非負(fù)性,分情況去掉絕對值,再分段求值,最后確定最值.八、根據(jù)實(shí)際情況求最值例8.某文具店銷售的水筆只有A、B、C三種型號,下面表格和統(tǒng)計(jì)圖分別給出了上月三種型號水筆每支的利潤和銷售量.A、B、C三種水筆每支利潤統(tǒng)計(jì)表水筆型號ABC每支利潤0.60.51.2A、B、C三種水筆銷售量統(tǒng)計(jì)圖銷售量（支）型號⑴分別計(jì)算該店上月這三種型號水筆的利潤,并將利潤分布情況用扇形統(tǒng)計(jì)圖表示.⑵該店計(jì)劃下月共進(jìn)這三種型號水筆600支綜合上月銷售情況,你認(rèn)為A、

7、B、C三種型號水筆各進(jìn)多少支總利潤最高?此時(shí)所獲的利潤是多少?解析:⑴A型水筆的利潤為:0.6×300=180元B型水筆的利潤為:0.5×600=300元C型水筆的利潤為:1.2×100=120元扇形統(tǒng)計(jì)圖略.⑵因?yàn)槿N型號水筆利潤從高到低次是:C、A、B,所以當(dāng)三種型號的水筆所進(jìn)數(shù)量依次是C型水筆100支,A型水筆300支,B型水筆200支總利潤最高,此時(shí)所獲得的總利潤為300×0.6+200×0.5+100×1.2=400元.