概率論復(fù)習(xí)題及問(wèn)題詳解.doc

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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題一．事件及其概率1.設(shè)為三個(gè)事件，試寫(xiě)出下列事件的表達(dá)式：(1)都不發(fā)生；(2)不都發(fā)生；(3)至少有一個(gè)發(fā)生；(4)至多有一個(gè)發(fā)生。解：(1)(2)(3)(4)2.設(shè)為兩相互獨(dú)立的隨機(jī)事件,,,求。解：；。3.設(shè)互斥，，，求。解：。4.設(shè)，求。解：。5.設(shè)獨(dú)立且求。解：。6.袋中有個(gè)黃球，個(gè)白球，在袋中任取兩球，求(1)取到兩個(gè)黃球的概率；(1)取到一個(gè)黃球、一個(gè)白球的概率。解：(1)；(2)。2.從十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字，求三個(gè)數(shù)字中最大數(shù)為的概率。解：。3.從中任取兩數(shù)

2、，求兩數(shù)之和小于的概率。解：。4.甲袋中裝有只紅球，只白球，乙袋中裝有只紅球，只白球，現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，?wèn)從乙袋中取出紅球的概率為多少？解：設(shè)“從甲袋中取出的是紅球”，“從乙袋中取出的是紅球”，則：由全概率公式得：。5.某大賣場(chǎng)供應(yīng)的微波爐中，甲、乙、丙三廠產(chǎn)品各占50%、40%、10%，而三廠產(chǎn)品的合格率分別為95%、85%、80%，求(1)買到的一臺(tái)微波爐是合格品的概率；(2)已知買到的微波爐是合格品，則它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？解：(1)設(shè)分別表示買到的微波爐由甲、乙、

3、丙廠生產(chǎn)，表示買到合格品，則由全概率公式得；(2)。二．一維隨機(jī)變量及其數(shù)字特征1.已知的概率密度函數(shù)，求。解：，。2.設(shè)，求。解：。3.設(shè)三次獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率相同，已知事件至少出現(xiàn)一次的概率為，求在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率。解：三次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，由題意：。4.某種燈管的壽命（單位：小時(shí)）的概率密度函數(shù)為，(1)求；(2)任取只燈管，求其中至少有只壽命大于的概率。解：(1)；(2)設(shè)只燈管中壽命大于的個(gè)數(shù)為，則，故。5.設(shè)求。解：。1.設(shè)，求。解：，。2.設(shè)，求。解：，。3.設(shè)服從上的均勻分布，

4、求方程解：，。4.設(shè)，求。解：。5.設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的螺絲長(zhǎng)度。規(guī)定長(zhǎng)度在圍為合格，求螺絲不合格的概率。解：螺絲合格的概率為故螺絲不合格的概率為。6.設(shè)，，求、及的分布。解：。7.設(shè)與獨(dú)立，且求。解：。1.設(shè)求。解：。2.設(shè)，求的概率密度函數(shù)。解：(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)時(shí)，；(4)當(dāng)時(shí)，；故，。二．二維隨機(jī)變量及其數(shù)字特征1.已知的聯(lián)合分布律為：(1)求；(2)求；(1)求的邊緣分布律；(2)求；(3)判斷是否獨(dú)立。解：(1);(2)；(3)；(4)；(5)，不獨(dú)立。2.已知的聯(lián)合分布律為：且與相

5、互獨(dú)立，求：(1)的值；(2)；(3)的邊緣分布律；(4)；(5)的分布律。解：(1);(2)；(3)；(4)；(5)。4.已知的概率密度函數(shù)為，求：(1)常數(shù)；(2)關(guān)于變量的邊緣概率密度函數(shù)；(3)。解：(1)；(2)；(3)。5.設(shè)的概率密度函數(shù)為：，(1)求；(2)求；(3)判斷是否獨(dú)立；(1)求；(2)求。解：(1)；(2)，；(3)不獨(dú)立；(4)，；(5)。二．中心極限定理1.某種電器元件的壽命服從指數(shù)分布（單位：小時(shí)），現(xiàn)隨機(jī)抽取只，求其壽命之和大于小時(shí)的概率。解：設(shè)第只電器元件的壽命為則。令

6、，則。由中心極限定理得。2.生產(chǎn)燈泡的合格率為，記個(gè)燈泡中合格燈泡數(shù)為，求(1)與；(2)合格燈泡數(shù)在之間的概率。解：(1)；(2)由中心極限定理得。1.有一批建筑房屋用的木柱，其中的長(zhǎng)度不小于，現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取根，問(wèn)至少有根短于的概率是多少？解：設(shè)這根木柱中短于的個(gè)數(shù)為，則；由中心極限定理得。2.某單位設(shè)置一總機(jī)，共有架分機(jī)。設(shè)每個(gè)分機(jī)是否使用外線通話相互獨(dú)立，設(shè)每時(shí)刻每個(gè)分機(jī)有的概率要使用外線通話。問(wèn)總機(jī)至少需要多少外線才能以不低于的概率保證每個(gè)分機(jī)要使用外線時(shí)可供使用?解：設(shè)至少需要條外線。使用

7、外線的分機(jī)數(shù)，。由中心極限定理得：。一．抽樣分布1.從一批零件中抽取個(gè)樣本，測(cè)得其直徑為，求。解：。2.設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，已知服從分布，求。解：。1.總體，(1)對(duì)容量的樣本，求樣本均值大于的概率；(2)為使大于的概率不小于，樣本容量至少應(yīng)為多少？解：(1)；(2)。2.設(shè)取自正態(tài)總體，求。解：由于，故。3.設(shè)來(lái)自總體，為樣本方差，求。解：。二．參數(shù)估計(jì)1.設(shè)隨機(jī)變量，其中已知。為樣本均值,求的矩估計(jì)量。解：。2.設(shè)總體的概率密度函數(shù)為：，其中是未知參數(shù)，求的矩估計(jì)量。解：。1.設(shè)總體的分布律

8、為現(xiàn)有樣本：，求的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。解：(1)，將代入得；(2)似然函數(shù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)，令，得。2.設(shè)總體的概率密度函數(shù)為?，F(xiàn)測(cè)得的個(gè)數(shù)據(jù)：，求的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。解：(1)，令，得；(2)似然函數(shù)，對(duì)數(shù)似然函數(shù)，令，得。3.設(shè)軸承環(huán)的鍛壓零件的平均高度服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在從中抽取只環(huán)，其平均高度毫米，求環(huán)平均高度的置信度為的置信區(qū)間。解：已知，置信區(qū)間為。將代入，得所求置信區(qū)間為。1.為了估計(jì)一批鋼