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1、5-6余數問題教學目標余數問題是數論知識板塊中另一個內容豐富，題目難度較大的知識體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數知識點，所以學好本講對于學生來說非常重要。許多孩子都接觸過余數的有關問題，并有不少孩子說“遇到余數的問題就基本暈菜了！”余數問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數定理（加法余數定理，乘法余數定理，和同余定理），及中國剩余定理和有關棄九法原理的應用。知識點撥一、帶余除法的定義及性質一般地，如果a是整數，b是整數（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我們稱上面的除法算
2、式為一個帶余除法算式。這里：(1)當時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型:如圖這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除數，現在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數的角色，經過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數。這個圖能夠讓學生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關系。并且可以看出余數一定要比除數小。二、三大余數定理：1.余數的加法定理a與b的和除以c的余數，等于a,b分別
3、除以c的余數之和，或這個和除以c的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數等于4，即兩個余數的和3+1.當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之和再除以c的余數。例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以23+19=42除以5的余數等于3+4=7除以5的余數，即2.2.余數的乘法定理a與b的乘積除以c的余數，等于a,b分別除以c的余數的積，或者這個積除以c所得的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以23×16除以5的余數等于3×1=3。當余數的和比除
4、數大時，所求的余數等于余數之積再除以c的余數。例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以23×19除以5的余數等于3×4除以5的余數，即2.3.同余定理若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：a≡b(modm)，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質，我們可以得到一個非常重要的推論：若兩個數a，b除以同一個數m得到的余數相同，則a，b的差一定能被m整除用式子表示為：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk,k是整數，即m
5、(a－b
6、)三、棄九法原理在公元前9世紀，有個印度數學家名叫花拉子米，寫有一本《花拉子米算術》，他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害怕以前的計算結果丟失而經常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方式是這樣進行的：例如：檢驗算式1234除以9的余數為11898除以9的余數為818922除以9的余數為4除以9的余數為7除以9的余數為0這些余數的和除以9的余數為2而等式右邊和除以9的余數為3，那么上面這個算式一定是錯的。上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數的加法定理，即如果這個等式是正確的，那么左邊幾個加
7、數除以9的余數的和再除以9的余數一定與等式右邊和除以9的余數相同。而我們在求一個自然數除以9所得的余數時，常常不用去列除法豎式進行計算，只要計算這個自然數的各個位數字之和除以9的余數就可以了，在算的時候往往就是一個9一個9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結出棄九發(fā)原理：任何一個整數模9同余于它的各數位上數字之和。以后我們求一個整數被9除的余數，只要先計算這個整數各數位上數字之和，再求這個和被9除的余數即可。利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結果對不對
8、同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗算式9+9=9時，等式兩邊的除以9的余數都是0，但是顯然算式是錯誤的但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復雜的算式迷問題。四、中國剩余定理1.中國古代趣題中國數學名著《孫子算經》里有這樣的問題：“今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三。”此類問題我們可以稱為“物不知其數”類型，又被稱為“韓信點兵”
9、。韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數。我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（注：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），
