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《余數(shù)問(wèn)題題庫(kù)教師版.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、5-6余數(shù)問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)余數(shù)問(wèn)題是數(shù)論知識(shí)板塊中另一個(gè)內(nèi)容豐富，題目難度較大的知識(shí)體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)，所以學(xué)好本講對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)非常重要。許多孩子都接觸過(guò)余數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，并有不少孩子說(shuō)“遇到余數(shù)的問(wèn)題就基本暈菜了！”余數(shù)問(wèn)題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，和同余定理），及中國(guó)剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)撥一、帶余除法的定義及性質(zhì)一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我們稱上面的除法算
2、式為一個(gè)帶余除法算式。這里：(1)當(dāng)時(shí)：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當(dāng)時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個(gè)完美的帶余除法講解模型:如圖這是一堆書(shū)，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過(guò)打包后共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù)。這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。二、三大余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別
3、除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2.2.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除
4、數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù)，即2.3.同余定理若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：a≡b(modm)，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除用式子表示為：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk,k是整數(shù)，即m
5、(a－b
6、)三、棄九法原理在公元前9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫(xiě)有一本《花拉子米算術(shù)》，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的：例如：檢驗(yàn)算式1234除以9的余數(shù)為11898除以9的余數(shù)為818922除以9的余數(shù)為4除以9的余數(shù)為7除以9的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加
7、數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)
8、同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗(yàn)算式9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯(cuò)誤的但是反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問(wèn)題。四、中國(guó)剩余定理1.中國(guó)古代趣題中國(guó)數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》里有這樣的問(wèn)題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何？”答曰：“二十三。”此類問(wèn)題我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點(diǎn)兵”
9、。韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問(wèn)大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說(shuō)，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。我們先考慮下列的問(wèn)題：假設(shè)兵不滿一萬(wàn)，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），
