余數(shù)問(wèn)題(教師版).pdf

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1、.余數(shù)問(wèn)題知識(shí)精講一、帶余除法的定義及性質(zhì)一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,若有a÷b=q??r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：(1)當(dāng)r0時(shí)：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當(dāng)r0時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個(gè)完美的帶余除法講解模型:這是一堆書，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過(guò)打包后共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù)。二、三大余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c

2、的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2。..2.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之

3、積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù)，即2.3.同余定理若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：a≡b(modm)，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除。用式子表示為：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk，k是整數(shù)，即m

4、(a－b)經(jīng)典例題【例1】用某自然數(shù)a去除1992，得到商是46，余數(shù)是r，求a和r．【

5、解析】因?yàn)?992是a的46倍還多r,得到19924643......14，得1992464314，所以a43，r14．【例2】甲、乙兩數(shù)的和是1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32，求甲、乙兩數(shù)．【解析】(法1)因?yàn)榧滓?132，所以甲乙乙1132乙乙12321088；(108832)1288【解析】則乙，甲1088乙1000．【解析】(法2)將余數(shù)先去掉變成整除性問(wèn)題，利用倍數(shù)關(guān)系來(lái)做：從1088中減掉32以后，1056就應(yīng)當(dāng)是乙數(shù)的(111)倍，所以得到乙數(shù)10561288，甲數(shù)1088881000．..【例3】一個(gè)兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)。

6、【解析】本題為余數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，就是把余數(shù)問(wèn)題---即“不整除問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為整除問(wèn)題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個(gè)“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)。本題中310-37=273，說(shuō)明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3×7×13，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比37大，符合條件的有39，91.【例4】有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是17，余數(shù)是13，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113，則被除數(shù)是多少？【解析】被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113，所以被除數(shù)除數(shù)=2083，由于被除數(shù)是

7、除數(shù)的17倍還多13，則由“和倍問(wèn)題”可得：除數(shù)=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除數(shù)=2083-115=1968?！纠?】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人．如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠．問(wèn)：第二組有多少人?【解析】由48412，4859.6知，一組是10或11人．同理可知48316，48412知，二組是13、14或15人，因?yàn)槎M比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人．【例6】一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，除以11所得的余數(shù)是

8、6，求這個(gè)兩位數(shù)．【解析】因?yàn)橐粋€(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，所以這個(gè)兩位數(shù)一定大于13678，并且小于13(61)91；又因?yàn)檫@個(gè)兩位數(shù)除以11余6，而78除以11余1，這個(gè)兩位數(shù)為78583．【例7】有一個(gè)大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù).【解析】這個(gè)題沒(méi)有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說(shuō)它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)．1014556，594514，..(56,14)14，14的約數(shù)有1,2,7,14，所以這個(gè)數(shù)可能為2,7,14

9、。20032【例8】2與