最值系列之阿氏圓問題.doc

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1、最值系列之阿氏圓問題所謂“阿氏圓”，是指由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的圓的概念，在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的點(diǎn)的集合叫做圓．如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓．下給出證明法一：首先了解兩個(gè)定理（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則．證明：，，即（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點(diǎn)D，則．證明：在BA延長線上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接BD，則△ACD≌△

2、AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，則，即．接下來開始證明步驟：如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，，故M點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB的角平分線交AB于定點(diǎn)；作∠APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，，故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；又∠MPN=90°，定邊對定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓．法二：建系不妨將點(diǎn)A、B兩點(diǎn)置于x軸上且關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)A（-m，0），則B（m，0），設(shè)P（x，y），PA=kPB，即：解析式滿足圓的一般

3、方程，故P點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是圓，且圓心與AB共線．那么這個(gè)玩意和最值有什么關(guān)系呢？且來先看個(gè)例子：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓C，分別交AC、BC于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．【分析】這個(gè)問題最大的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化，此處P點(diǎn)軌跡是圓，故轉(zhuǎn)化方法與之前有所不同，如下，提供兩種思路．法一：構(gòu)造相似三角形注意到圓C半徑為2，CA=4，連接CP，構(gòu)造包含線段AP的△CPA，在CA邊上取點(diǎn)M使得CM=2，連接PM，可得△CPA∽△

4、CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．問題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值，直接連BM即可．【問題剖析】（1）這里為什么是？答：因?yàn)閳AC半徑為2，CA=4，比值是1:2，所以構(gòu)造的是，也只能構(gòu)造．（2）如果問題設(shè)計(jì)為PA+kPB最小值，k應(yīng)為多少？答：根據(jù)圓C半徑與CB之比為2:3，k應(yīng)為．【小結(jié)】此類問題都是構(gòu)造好的圖形搭配恰當(dāng)?shù)谋壤?，?gòu)造相似轉(zhuǎn)化線段即可解決．法二：阿氏圓模型對比一下這個(gè)題目的條件，P點(diǎn)軌跡是圓，A是定點(diǎn)，我們需要找出另一個(gè)定點(diǎn)M使得PM:PA=1:2，這不就是把“阿氏圓”的條件與結(jié)論互換了一下嘛

5、！而且這種問題里，給定的圓的位置、定點(diǎn)A的位置、線段的比例等，往往都是搭配好的！P點(diǎn)軌跡圓的圓心C點(diǎn)和A點(diǎn)在直線AC上，故所求M點(diǎn)在AC邊上，考慮到PM：PA=1:2，不妨讓P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，此時(shí)DM==1，即可確定M點(diǎn)位置．如果對這個(gè)結(jié)果不是很放心，不妨再取個(gè)特殊的位置檢驗(yàn)一下，如下圖，此時(shí)PM=3，PA=6，亦滿足PM:PA=1:2．【小結(jié)】法二其實(shí)是開了上帝視角，在已知其是阿氏圓的前提下，通過特殊點(diǎn)找出所求M點(diǎn)位置，雖不夠嚴(yán)謹(jǐn)，卻很實(shí)用．【練習(xí)1】如圖，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C

6、為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D．連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是　?。痉治觥渴紫葘栴}作變式2AD+3BD=，故求最小值即可．考慮到D點(diǎn)軌跡是圓，A是定點(diǎn)，且要求構(gòu)造，條件已經(jīng)足夠明顯．當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC邊時(shí)，DA=3，此時(shí)在線段CD上取點(diǎn)M使得DM=2，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，始終存在．問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM，BM長度的3倍即為本題答案．【練習(xí)2】如圖，已知正方ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．【分析】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC

7、邊上時(shí)，此時(shí)PC=2，根據(jù)題意要求構(gòu)造，在BC上取M使得此時(shí)PM=1，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，對于△PDM，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值．