功率譜估計(jì)模型法課件.ppt

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1、功率譜估計(jì)--參數(shù)估計(jì)方法周期圖法的不足估計(jì)方法的方差性能差在功率譜密度計(jì)算中沒有實(shí)現(xiàn)求均值的運(yùn)算分辨率低樣本數(shù)據(jù)x(n)是有限長(zhǎng)的，相當(dāng)于在無限長(zhǎng)樣本數(shù)據(jù)中加載了窗函數(shù)(矩形窗、Hanning等)參數(shù)模型功率譜估計(jì)MA模型AR模型ARMA模型平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型如果一個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(n)通過一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)(LSI)h(n)，則系統(tǒng)輸出y(n)也是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，并且y(n)的功率譜密度和x(n)的功率譜密度滿足下式：其中Pyy、Pxx分別為系統(tǒng)輸出、輸入的功率譜密度，而H(w)為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的

2、傅立葉變換。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型如果系統(tǒng)輸入為白噪聲信號(hào)u(n)，其功率譜密度為常數(shù)σ2，則輸出信號(hào)功率譜密度Pxx(w)完全由系統(tǒng)傳遞函數(shù)

3、H(w)

4、2決定，因此我們通過對(duì)H(w)進(jìn)行建模，從而得到輸出信號(hào)的功率譜密度。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型在上圖中，輸入u(n)為白噪聲信號(hào)，其方差為σ2，則系統(tǒng)輸出x(n)的功率譜密度Pxx(w)為：平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型因此我們利用確定性系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的特性去表征隨機(jī)信號(hào)x(n)的功率譜密度，稱為參數(shù)模型功率譜估計(jì)。參數(shù)模型功率譜估計(jì)的步驟：對(duì)H(z)選擇合

5、適的模型：MA模型、AR模型、ARMA模型根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)x(n)，或者x(n)的自相關(guān)函數(shù)，確定H(z)的參數(shù)利用H(z)估計(jì)x(n)的功率譜。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型H(z)的模型：AR模型：auto-Regressive此模型只有極點(diǎn)，沒有零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)其幅度譜結(jié)構(gòu)存在譜峰平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型MA模型：Moving-Average此模型只有零點(diǎn)，沒有極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜谷點(diǎn)。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型ARMA模型：此模型同時(shí)有零點(diǎn)、極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜峰、譜谷系統(tǒng)模型對(duì)于一階全極點(diǎn)傳遞函數(shù)傳

6、遞函數(shù)所對(duì)應(yīng)的幅度響應(yīng)實(shí)際上是：當(dāng)a>0當(dāng)a<0系統(tǒng)模型對(duì)于二階的全極點(diǎn)傳遞函數(shù)其對(duì)應(yīng)的幅度響應(yīng)？由于傳遞函數(shù)中，a、b均為實(shí)數(shù)，且要求極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，因此傳遞函數(shù)的極點(diǎn)應(yīng)該是共軛對(duì)稱的。系統(tǒng)模型極點(diǎn)位置在[0π/2]內(nèi)時(shí)系統(tǒng)模型極點(diǎn)位置在[π/2π]內(nèi)時(shí)系統(tǒng)模型對(duì)于二階的全零點(diǎn)系統(tǒng)零點(diǎn)的位置沒有限定要求，那么其幅度響應(yīng)當(dāng)零點(diǎn)在[0π/2]內(nèi)時(shí)在零點(diǎn)在[π/2π]內(nèi)時(shí)AR模型估計(jì)功率譜密度假設(shè)u(n)、x(n)都是寬平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)，其中u(n)為白噪聲，方差為σ2，推導(dǎo)H(z)的模型參數(shù)ai與數(shù)據(jù)x(n)

7、的關(guān)系，即所謂AR模型的正則方程(NormalEquation)。AR模型估計(jì)功率譜密度根據(jù)輸入、輸出、系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的關(guān)系等式兩邊同乘以x(n-m)，同時(shí)取期望運(yùn)算AR模型估計(jì)功率譜密度這里首先考慮rxu(m)的求解這里h(k)為H(z)的無限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)AR模型估計(jì)功率譜密度由于系統(tǒng)輸入u(n)為白噪聲信號(hào)，因此：這樣rxu(m)為：AR模型估計(jì)功率譜密度而h(m)為系統(tǒng)H(z)的脈沖響應(yīng)，由于H(z)為因果系統(tǒng)，因此：這樣，互相關(guān)函數(shù)rxu(m)為：AR模型估計(jì)功率譜密度由于h(0)為系統(tǒng)H(z)的脈沖

8、響應(yīng)，而：因此有h(0)=1AR模型估計(jì)功率譜密度根據(jù)上式以及rxu(m)的求解：AR模型估計(jì)功率譜密度將等式右側(cè)的累加項(xiàng)移到等式左側(cè)，這樣上式就可以寫成方程組的形式：AR模型估計(jì)功率譜密度在方程組的形式中，由于H(z)模型參數(shù)ai為p個(gè)，以及白噪聲方差σ2，因此需要p+1個(gè)方程就可以求解，同時(shí)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的對(duì)稱性，將方程組展開為矩陣形式：AR模型估計(jì)功率譜密度這就是AR模型的正則方程，也稱為Yule-Walker方程。AR模型估計(jì)功率譜密度得到AR模型的參數(shù)，就可以估計(jì)功率譜密度：AR譜估計(jì)特點(diǎn)譜估計(jì)

9、的特征在譜峰值處，AR譜和信號(hào)譜很接近譜谷底位置，則相差比較大。清音AR模型與線性預(yù)測(cè)的關(guān)系線性預(yù)測(cè)系數(shù)aj構(gòu)成的全極點(diǎn)濾波器H(z)：其逆過程為：AR模型與線性預(yù)測(cè)的關(guān)系A(chǔ)R模型：對(duì)應(yīng)的輸入、輸出關(guān)系：AR模型與線性預(yù)測(cè)的關(guān)系那么：AR模型與線性預(yù)測(cè)的關(guān)系這里我們發(fā)現(xiàn)線性預(yù)測(cè)過程是AR模型估計(jì)功率譜的逆過程。當(dāng)預(yù)測(cè)器的階數(shù)和AR模型的階數(shù)相同時(shí)，對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)器系數(shù)h和AR模型參數(shù)ai才有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。AR模型功率譜估計(jì)性能分析周期圖法中由于自相關(guān)函數(shù)rxx(m)的長(zhǎng)度為2N-1，因此相當(dāng)于對(duì)真實(shí)的自相關(guān)

10、函數(shù)進(jìn)行了加窗處理，自相關(guān)函數(shù)的取值范圍在[-(N-1)N-1]內(nèi)，在此范圍外的值為零值，從而導(dǎo)致了估計(jì)的功率譜密度受到窗函數(shù)譜的影響，降低了分辨率。AR模型對(duì)功率譜估計(jì)的改進(jìn)實(shí)際上體現(xiàn)在對(duì)自相關(guān)函數(shù)的延拓特性上，沒有將估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)取值限制在[-(N-1)N-1]的范圍內(nèi)。AR模型功率譜估計(jì)性能分析根據(jù)Yule-Walker方程可知：首先估計(jì)p+1個(gè)自相關(guān)函數(shù)rxx(0)，rxx(1)，…，rxx(p)后，可以根據(jù)上式得到