標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差公式.docx

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1、標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)學(xué)表達(dá)式：?S—標(biāo)準(zhǔn)偏差（%)?n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于２0—30個(gè)?i-物料中某成分得各次測量值，1~n；標(biāo)準(zhǔn)偏差得使用方法六個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差得公式［1］標(biāo)準(zhǔn)偏差得理論計(jì)算公式設(shè)對(duì)真值為Ｘ得某量進(jìn)行一組等精度測量,其測得值為l1、l２、??ｌｎ.令測得值ｌ與該量真值X之差為真差占σ,則有σ=l-X1iσ２=ｌ2-X??σn＝lｎ-X我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差(也稱標(biāo)準(zhǔn)差）σ為(1)由于真值Ｘ都就是不可知得,因此真差σ占也就無法求得,故式只有理論意義而無實(shí)用價(jià)值。標(biāo)準(zhǔn)偏差σ得常用估計(jì)—貝塞爾公式

2、由于真值就是不可知得,在實(shí)際應(yīng)用中，我們常用n次測量得算術(shù)平均值來代表真值。理論上也證明，隨著測量次數(shù)得增多，算術(shù)平均值最接近真值，當(dāng)時(shí),算術(shù)平均值就就是真值。于就是我們用測得值li與算術(shù)平均值之差——剩余誤差(也叫殘差）Ｖi來代替真差σ，即設(shè)一組等精度測量值為l1、l２、??ln則??通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差σ與剩余誤差V得關(guān)系為將上式代入式（１)有（2)式（2）就就是著名得貝塞爾公式（Bessel)。它用于有限次測量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差得計(jì)算。由于當(dāng)時(shí)，,可見貝塞爾公式與σ得定義式（1）就是完全一致得.應(yīng)該指出,在

3、n有限時(shí),用貝塞爾公式所得到得就是標(biāo)準(zhǔn)偏差σ得一個(gè)估計(jì)值.它不就是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。因此，我們稱式(2）為標(biāo)準(zhǔn)偏差σ得常用估計(jì)。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn),我們將σ得估計(jì)值用“S”表示。于就是，將式(2)改寫為（2’）在求S時(shí),為免去求算術(shù)平均值得麻煩,經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)（過程從略）有于就是，式(２’）可寫為(2”)按式(2")求S時(shí)，只需求出各測得值得平方與與各測得值之與得平方藝,即可。標(biāo)準(zhǔn)偏差σ得無偏估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義Ｓ2為樣本方差數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明S就是總體方差σ得無偏估計(jì)。即在大量重復(fù)試驗(yàn)中,S圍繞σ散布,它們2222之間沒有

4、系統(tǒng)誤差.而式(２＇)在ｎ有限時(shí)，S并不就是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ得無偏估計(jì),也就就是說Ｓ與σ之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們，對(duì)于服從正態(tài)分布得正態(tài)總體，總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ得無偏估計(jì)值為(3）令則即S1與S僅相差一個(gè)系數(shù)σσ就是與樣本個(gè)數(shù)測量次數(shù)有關(guān)得一個(gè)系數(shù)，σK，KK值見表.計(jì)算Kσ時(shí)用到Γ（n+１）＝ｎΓ（n）Γ（１)＝1由表1知,當(dāng)ｎ>3０時(shí),。因此,當(dāng)n>3０時(shí)，式（３')與式（2’)之間得差異可略而不計(jì)。在n=3０~50時(shí),最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差.當(dāng)n〈10時(shí)，由于Ｋσ值得影響已不可忽略,宜用式(3'

5、）,求標(biāo)準(zhǔn)偏差.這時(shí)再用貝塞爾公式顯然就是不妥得。標(biāo)準(zhǔn)偏差得最大似然估計(jì)將σ得定義式(1）中得真值Ｘ用算術(shù)平均值代替且當(dāng)ｎ有限時(shí)就得到（4)式（4)適用于n〉50時(shí)得情況,當(dāng)ｎ>５0時(shí),ｎ與（n-1)對(duì)計(jì)算結(jié)果得影響就很小了.2、５標(biāo)準(zhǔn)偏差σ得極差估計(jì)由于以上幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差得計(jì)算公式計(jì)算量較大，用，而極差估計(jì)得方法則有運(yùn)算簡便，計(jì)算量小宜于現(xiàn)場采用得特點(diǎn)。不宜現(xiàn)場采極差用＂R"表示。所謂極差就就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取得ｎ個(gè)樣本測得值中得最大值與最小值之差。若對(duì)某量作次等精度測量測得l1、,且它們服從正態(tài)分布,

6、則R=lmax-lmin概率統(tǒng)計(jì)告訴我們用極差來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差得計(jì)算公式為（5)S3稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差σ得無偏極差估計(jì)，d2為與樣本個(gè)數(shù)n（測得值個(gè)數(shù))有關(guān)得無偏極差系數(shù)，其值見表2由表2知，當(dāng)n≤1５時(shí)，，因此,標(biāo)準(zhǔn)偏差σ更粗略得估計(jì)值為（5'）還可以瞧出,當(dāng)２０0≤ｎ≤10００時(shí),因而又有（5"）顯然，不需查表利用式(5')與（5”)了即可對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速估計(jì)，用以對(duì)用貝塞爾公式及其她公式得計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。應(yīng)指出,式（5)得準(zhǔn)確度比用其她公式得準(zhǔn)確度要低，但當(dāng)5≤n≤1５時(shí),式(５）不僅大大提高了計(jì)算速

7、度，而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)ｎ>10時(shí),由于舍去數(shù)據(jù)信息較多,因此誤差較大，為了提高準(zhǔn)確度，這時(shí)應(yīng)將測得值分成四個(gè)或五個(gè)一組,先求出各組得極差R１、，再由各組極差求出極差平均值。極差平均值與總體標(biāo)準(zhǔn)偏差得關(guān)系為需指出，此時(shí)d2大小要用每組得數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n而不就是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=ｎＫ）去查表2。再則，分組時(shí)一定要按測得值得先后順序排列,不能打亂或顛倒。標(biāo)準(zhǔn)偏差σ得平均誤差估計(jì)平均誤差得定義為誤差理論給出(Ａ）可以證明與得關(guān)系為（證明從略）于就是（B）由式（A)與式（Ｂ)得從而有式（6)就就是佩特斯（C、A、Ｆ、Peteｒ

8、s、1856)公式。用該公式估計(jì)δ值,由于rｉｇｒｉght

9、不需平方,故計(jì)算較為簡便。但該式得準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。標(biāo)準(zhǔn)偏差得應(yīng)用實(shí)例［1]對(duì)標(biāo)稱值Rａ=0、160得以下15個(gè)數(shù)據(jù)：１、４μm