第3章 彈性本構(gòu)關(guān)系的求解習題

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1、第三章彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解習題習題1、試利用各向異性理想彈性體的廣義虎克定律導出:在什么條件下,理想彈性體中的主應力方向和主應變方向相重合?解:各向異性理想彈性體的廣義虎克定律為:(a)當時,三個互相垂直的應力方向為主應力方向。當時,三個互相垂直的應變方向為主應變方向。在主應變方向上,剪應力分量為:(b)若使,則式中,,具有非零解的條件為(c)上式即為x,y,z軸同時為應力主軸和應變主軸的條件。如果材料性能對稱于一個平面,如Oxy平面,則,而且,此時(c)式恒等于零。在此情況下,當存在以x,y,z軸為主方向的應變狀態(tài)時,其對應的剪應力分量將成為(d)若應變分量之間

2、滿足,則此點的應變主方向和應力主方向重合。如果材料性能對稱于Oxy,Oyz,Ozx三個平面,則有,此時(d)式總是滿足的。由此可知,當x,y,z軸為應變的主方向時,也必定為應力的主方向。但是,當應變主方向和正交軸不重合時,一般它與應力的主方向是不重合的。對于各向同性彈性體,不需要任何補充條件,應力主方向和應變主方向總是重合的。習題2、對于各向同性彈性體,試導出正應力之差和正應變之差的關(guān)系式。且進一步證明:當其主應力的大小順序為時,其主應變的排列順序為。19--解:各向同性條件下的廣義虎克定律為將上式中的(1)-(2),(2)-(3),(3)-(1)分別得: 即 證明:當其

3、主應力的大小順序為時,其主應變的排列順序為。 且,利用上述正應力之差和正應變之差的關(guān)系式有。習題3、將某一小的物體放入高壓容器內(nèi),在靜水壓力作用下,測得體積應變,若泊松比=0.3,試求該物體的彈性模量。解:設(shè)為第一應力不變量,而,據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律為有:,其中體積應變,故有。習題4、在各向同性柱狀彈性體的軸向施加均勻壓力,且橫向變形完全被限制?。ㄈ鐖D所示)。試求應力與應變的比值(稱為名義楊氏模量,以表示)。解:設(shè)柱體的軸線z軸,。因為橫向變形被限制,所以。據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律19--圖3-1得:,,將此兩式相減得:,而泊松比的理論取值范圍為,故,將其

4、代入廣義虎克定律得:從而,得解。習題5、在某點測得正應變的同時,也測得與它成60。和90。方向上的正應變,其值分別為,,,試求該點的主應變、最大剪應變和主應力(,)。解:設(shè)該點的x,y軸向的正應變分別為,,剪應變?yōu)?。任意方向(為與x軸正向的夾角)上的正應變?yōu)椋?,所以,,,解由此三式組成的方程組得該點的,和分別為:,。(1)計算該點的主應變:19--由、、和得該點的主應變?yōu)椋?,。?)該點的最大剪應變。(3)計算該點的主應力:現(xiàn)、、,據(jù)向同性條件下的廣義虎克定律得,即,所以將、、、及、代入上面三式得:,,。習題6、根據(jù)彈性應變能理論的應變能公式,導出材料力學中桿件拉伸、彎曲

5、及圓軸扭轉(zhuǎn)的應變能公式分別為:。解:(1)桿件拉伸的應變能公式推導:設(shè)桿件橫截面積為,彈性模量為,如圖建立坐標系。桿件為單向拉伸,只存在軸向的伸長或縮短,軸向纖維間無剪切變形,即。19--同時軸向纖維間無相互作用力,即。據(jù)彈性應變能理論的應變能公式(其余分量產(chǎn)生的應變能為零)。O圖3-2現(xiàn)在桿件上x處取一微段dx,其體積為,其應變能,而整個桿件的拉伸應變能為:而,故整個桿件的拉伸應變能為:(2)桿件彎曲的應變能公式的推導:在材料力學中桿件在外力作用下發(fā)生純彎曲,僅軸向纖維發(fā)生拉伸或壓縮變形(其中中性層以內(nèi)的纖維層受壓縮,中興層以外的纖維層伸長),而軸向纖維之間無相互作用的

6、內(nèi)力,即和。在桿件上沿軸向去取一微段,在此微段的橫截面上取一個微面,在上的應力可為相同的,而。,。19--故,其中只與x有關(guān)。。桿件彎曲的撓度為,撓度曲線的曲率為(3)圓軸扭轉(zhuǎn)的變形能公式推導:設(shè)圓軸的軸向為z軸。在材料力學中,圓軸扭轉(zhuǎn)變形后,其橫截面仍為平面,半徑仍為直線,且沿z軸相鄰兩截面的距離不變,故有,。在圓軸軸向z處取一微段,在微段的橫截面(圓截面)上的半徑處取一微面積,上的應力可為相同的,那么。據(jù)平衡方程有:而,故,令。,而,故,只與z有關(guān),,即。習題7、試推導體積變形應變能密度及畸變應變能密度的公式分別為:19--解:應變張量可分為球形應變張量和應變偏量張量

7、之和:,即。其中球形應變張量表示體積變形(體積的等向收縮或膨脹),不產(chǎn)生形狀畸變,它由球形應力張量所引起,僅產(chǎn)生體積變形應變能;而應變偏量張量表示形狀畸變,不產(chǎn)生體積變形,它由應力偏量張量所引起,僅產(chǎn)生畸變應變能。應力張量可分為球形應力張量和應力偏量張量之和:,即,變形應變能密度分為體積變形應變能密度與畸變應變能密度之和,即其中,。所以無論如何有:,故。據(jù)虎克定律有:,。據(jù)虎克定律有:,19--習題8、如圖所示結(jié)構(gòu),梁AB在A處固支,長為l,截面積為F1,截面慣性矩為I。桿BC在B處與梁鉸接,截面積為F2,。材料彈性模量為E,

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