第3章 彈性本構(gòu)關(guān)系的求解習(xí)題

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1、第三章彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解習(xí)題習(xí)題1、試?yán)酶飨虍愋岳硐霃椥泽w的廣義虎克定律導(dǎo)出：在什么條件下，理想彈性體中的主應(yīng)力方向和主應(yīng)變方向相重合？解：各向異性理想彈性體的廣義虎克定律為：（a）當(dāng)時(shí)，三個(gè)互相垂直的應(yīng)力方向?yàn)橹鲬?yīng)力方向。當(dāng)時(shí)，三個(gè)互相垂直的應(yīng)變方向?yàn)橹鲬?yīng)變方向。在主應(yīng)變方向上，剪應(yīng)力分量為：（b）若使，則式中，，具有非零解的條件為（c）上式即為x，y，z軸同時(shí)為應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸的條件。如果材料性能對(duì)稱于一個(gè)平面，如Oxy平面，則，而且，此時(shí)（c）式恒等于零。在此情況下，當(dāng)存在以x，y，z軸為主方向的應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的

2、剪應(yīng)力分量將成為（d）若應(yīng)變分量之間滿足，則此點(diǎn)的應(yīng)變主方向和應(yīng)力主方向重合。如果材料性能對(duì)稱于Oxy，Oyz，Ozx三個(gè)平面，則有，此時(shí)（d）式總是滿足的。由此可知，當(dāng)x，y，z軸為應(yīng)變的主方向時(shí)，也必定為應(yīng)力的主方向。但是，當(dāng)應(yīng)變主方向和正交軸不重合時(shí)，一般它與應(yīng)力的主方向是不重合的。對(duì)于各向同性彈性體，不需要任何補(bǔ)充條件，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向總是重合的。習(xí)題2、對(duì)于各向同性彈性體，試導(dǎo)出正應(yīng)力之差和正應(yīng)變之差的關(guān)系式。且進(jìn)一步證明：當(dāng)其主應(yīng)力的大小順序?yàn)闀r(shí)，其主應(yīng)變的排列順序?yàn)椤?9--解：各向同性條件下的廣義虎克定律為將上式中

3、的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分別得：　即　證明：當(dāng)其主應(yīng)力的大小順序?yàn)闀r(shí)，其主應(yīng)變的排列順序?yàn)?。　且，利用上述正?yīng)力之差和正應(yīng)變之差的關(guān)系式有。習(xí)題3、將某一小的物體放入高壓容器內(nèi)，在靜水壓力作用下，測(cè)得體積應(yīng)變，若泊松比=0.3，試求該物體的彈性模量。解：設(shè)為第一應(yīng)力不變量，而，據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律為有：，其中體積應(yīng)變，故有。習(xí)題4、在各向同性柱狀彈性體的軸向施加均勻壓力，且橫向變形完全被限制住（如圖所示）。試求應(yīng)力與應(yīng)變的比值（稱為名義楊氏模量，以表示）。解：設(shè)柱體的軸線z軸，。因?yàn)闄M向變形被限制，所以

4、。據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律19--圖3-1得：，，將此兩式相減得：，而泊松比的理論取值范圍為，故，將其代入廣義虎克定律得：從而，得解。習(xí)題5、在某點(diǎn)測(cè)得正應(yīng)變的同時(shí)，也測(cè)得與它成60。和90。方向上的正應(yīng)變，其值分別為，，，試求該點(diǎn)的主應(yīng)變、最大剪應(yīng)變和主應(yīng)力（，）。解：設(shè)該點(diǎn)的x，y軸向的正應(yīng)變分別為，，剪應(yīng)變?yōu)?。任意方向（為與x軸正向的夾角）上的正應(yīng)變?yōu)椋海?，，，解由此三式組成的方程組得該點(diǎn)的，和分別為：,。（1）計(jì)算該點(diǎn)的主應(yīng)變：19--由、、和得該點(diǎn)的主應(yīng)變?yōu)椋海＃?）該點(diǎn)的最大剪應(yīng)變。（3）計(jì)算該點(diǎn)的主應(yīng)力：現(xiàn)、、

5、，據(jù)向同性條件下的廣義虎克定律得，即，所以將、、、及、代入上面三式得：,,。習(xí)題6、根據(jù)彈性應(yīng)變能理論的應(yīng)變能公式，導(dǎo)出材料力學(xué)中桿件拉伸、彎曲及圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能公式分別為：。解：（1）桿件拉伸的應(yīng)變能公式推導(dǎo)：設(shè)桿件橫截面積為，彈性模量為，如圖建立坐標(biāo)系。桿件為單向拉伸，只存在軸向的伸長或縮短，軸向纖維間無剪切變形，即。19--同時(shí)軸向纖維間無相互作用力，即。據(jù)彈性應(yīng)變能理論的應(yīng)變能公式（其余分量產(chǎn)生的應(yīng)變能為零）。O圖3-2現(xiàn)在桿件上x處取一微段dx，其體積為，其應(yīng)變能,而整個(gè)桿件的拉伸應(yīng)變能為：而，故整個(gè)桿件的拉伸應(yīng)變能為：（2）

6、桿件彎曲的應(yīng)變能公式的推導(dǎo)：在材料力學(xué)中桿件在外力作用下發(fā)生純彎曲，僅軸向纖維發(fā)生拉伸或壓縮變形（其中中性層以內(nèi)的纖維層受壓縮，中興層以外的纖維層伸長），而軸向纖維之間無相互作用的內(nèi)力，即和。在桿件上沿軸向去取一微段，在此微段的橫截面上取一個(gè)微面，在上的應(yīng)力可為相同的，而。，。19--故，其中只與x有關(guān)。。桿件彎曲的撓度為，撓度曲線的曲率為（3）圓軸扭轉(zhuǎn)的變形能公式推導(dǎo)：設(shè)圓軸的軸向?yàn)閦軸。在材料力學(xué)中，圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，其橫截面仍為平面，半徑仍為直線，且沿z軸相鄰兩截面的距離不變，故有，。在圓軸軸向z處取一微段，在微段的橫截面（圓截面）

7、上的半徑處取一微面積，上的應(yīng)力可為相同的，那么。據(jù)平衡方程有：而，故，令。，而，故，只與z有關(guān)，，即。習(xí)題7、試推導(dǎo)體積變形應(yīng)變能密度及畸變應(yīng)變能密度的公式分別為：19--解：應(yīng)變張量可分為球形應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量張量之和：，即。其中球形應(yīng)變張量表示體積變形（體積的等向收縮或膨脹），不產(chǎn)生形狀畸變，它由球形應(yīng)力張量所引起，僅產(chǎn)生體積變形應(yīng)變能；而應(yīng)變偏量張量表示形狀畸變，不產(chǎn)生體積變形，它由應(yīng)力偏量張量所引起，僅產(chǎn)生畸變應(yīng)變能。應(yīng)力張量可分為球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量之和：，即，變形應(yīng)變能密度分為體積變形應(yīng)變能密度與畸變應(yīng)變能密度之和，即

8、其中，。所以無論如何有：，故。據(jù)虎克定律有：，。據(jù)虎克定律有：，19--習(xí)題8、如圖所示結(jié)構(gòu)，梁AB在A處固支，長為l，截面積為F1，截面慣性矩為I。桿BC在B處與梁鉸接，截面積為F2，。材料彈性模量為E，