淺談在數(shù)學教學中反例教學的應用.doc

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1、淺談在數(shù)學教學中反例教學的應用用命題形式給出一個數(shù)學問題，要判斷它是錯誤的，只要列舉一個滿足命題的條件，但結論不成立的例子，就足以否定這個命題，這樣的例子就是通常意義下的反例。在初中教學中，反例的構建是教學中一種非常重要的教學手段和方式，反例教學有其極其重要的作用，它可以培養(yǎng)學生的思維的縝密性、提高思維的全面性、培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性以及思維的創(chuàng)新性等等。在這幾年的數(shù)學教學中，我對反例教學的感觸也非常深刻，我覺得反例教學既有其極其重要的作用，也有其在實施的過程中需要注意的環(huán)節(jié)。就其需要注意的問題和作用我在此發(fā)表自己一點小小的看法。一、實施反例教學要注意的問題（一

2、）注意反例教學的引入根據(jù)學生年齡、生理及心理特征，以及所學知識結構的不完整性，有時還不具備獨立系統(tǒng)地推理論證的能力，思維受到一定的局限，考慮問題可能還會不夠全面，在教學過程中要注意反例教學引入的合理性和可行性。（二）注意反例教學的構建教師在進行教學時，不但要適當?shù)厥褂梅蠢?，更重要的是要善于引導學生構建反例，這實際上是為學生創(chuàng)設了一種探索情景，又由于在通常情況下，許多反例的構建不是惟一的，這就需要學生對所學知識有深刻、透徹的理解，并調(diào)動他們?nèi)康臄?shù)學功底，充分展開想象，因此，構建反例的過程也是學生思維發(fā)揮和訓練過程。例如在講授《實數(shù)》一節(jié)時，我曾安排了這樣一個思

3、考題：兩個無理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？學生們馬上舉出幾個反例如π與-π；它們的和都等于零是有理數(shù)。這些反例的共同特征是：互為相反數(shù)的兩個無理數(shù)的和為有理數(shù)。在此問題的基礎上，教師可以進一步地追問：兩個無理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？兩個有理數(shù)的和或者積是否一定是有理數(shù)？一個無理數(shù)與一個有理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？一個無理數(shù)與一個有理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？通過對這些問題作更多更深入的一些研究，這不僅可以培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性，還可以加深對有理數(shù)、無理數(shù)概念的理解，弄清有理數(shù)和無理數(shù)之間的關系。這一事例說明教師在日常教學中，可經(jīng)常選擇一些典型的數(shù)學知識或問題，通過創(chuàng)設

4、問題情景，引導學生構建反例，引導學生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題或提出問題，愛護、支持和鼓勵學生中的一切含有創(chuàng)造因素的思想和活動，從而提高學生的思維能力。（三）注意反例教學的逐層深入性在教學時，反例的構建要根據(jù)學生的認知發(fā)展水平和已有的知識結構逐層深入地進行，把某些難度較大的問題分解為一些小的梯度題。例如在教學三角形全等的判定定理時，學生在掌握基本的幾個判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS）后，教師可讓學生判斷：三個角對應全等的三角形全等；有兩邊及其其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形全等。三角對應相等的三角形全等的反例比較容易列舉，例如三角板中的兩個三角形。但是有

5、兩邊及其其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形全等的反例卻較難構建。為了解決這個問題，教師可以先固定某些邊或者某些角對應相等以后再讓學生構建反例?？梢韵裙潭ā螦=∠A’,AC=A’C’,在此基礎上引導學生進一步思考若BC=B’C’=a，說明BC或B‘C‘可以通過以下作圖方法來畫出：以C或者C’為圓心，a為半徑畫弧，a只要滿足一定的條件，此時所畫的弧就很可能與AB或者A’B’所在的直線有兩個交點，這是再構造出不全等的三角形就減少了難度。二、反例教學的重要作用數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，解決數(shù)學問題的思維過程應是縝密的。教師可以把以往學生易犯的錯誤設置成反例，有針對性地培

6、養(yǎng)學生思維的縝密性。判斷：對于任意的自然數(shù)n，n2－n＋11一定是質(zhì)數(shù)。對于反例的列舉，學生最容易想到的辦法的就是代入幾個特殊的數(shù)值進行計算。對于這一題，假如從第一個自然數(shù)0開始代入驗證，我們發(fā)現(xiàn)結論是正確的，以后繼續(xù)代數(shù)，一直到10結論也都是正確的。學生往往還沒有代到10就已認為結論是正確的了。因為對于代值驗證的問題，我們通常能代入3、5個值驗證都已經(jīng)很不錯了。這一題反例的構建需要從式子本生的角度去思考，通過對式子的觀察，大部分學生不難得出n=11時，n2－n＋11就已經(jīng)不是質(zhì)數(shù)了。在此，常用的構造反例的特殊值法卻行不通了，因此反例構建的過程其實也是學生多角

7、度思考問題的一個過程，注重反例教學的適當?shù)囊氩坏苁箤W生發(fā)現(xiàn)錯誤和漏洞，而且還可以修補相關知識，學會多角度考慮問題，從而提高思維的全面性。反例構建是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性、創(chuàng)造性活動，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學生創(chuàng)造力的一種很好的載體。判斷：底面是正三角形，側(cè)面均為等腰三角形的棱錐是正三棱錐。這個命題看起來，條件比較苛刻，似乎正確性不容懷疑，但是條件“側(cè)面是等腰三角形”并不等同于條件“側(cè)面是全等的等腰三角形”．如圖4，底面ABC是正三角形，DA垂直于平面ABC，并且DA=AB，這樣側(cè)面△ABD，△ACD均是等腰直角三角形，△DBC是等腰三角形

8、，符合題設諸條件．顯然此棱錐不是正三棱