例談軌跡方程的幾種常見求法.doc

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1、例談軌跡方程的幾種常見求法石阡縣第三高級中學張軍求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一，是用代數(shù)的方法研究幾何問題的基礎(chǔ)。這類題目把基本知識、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融于一體，因此也是歷屆高考考查的重要內(nèi)容之一。一般地，求軌跡方程有直接和間接兩種方式，本文將以例題的形式淺談軌跡方程的幾種常見求法：一、直接法當動點直接與已知條件發(fā)生聯(lián)系時，在設(shè)曲線上動點的坐標為后，可根據(jù)題設(shè)條件將普通語言運用基本公式（如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式、面積公式等）變換成表示動點間的關(guān)系式（等式）的數(shù)學語言，從而得到軌跡方程。這種

2、求軌跡方程的方法稱為直接法，這是探求軌跡剛才最基本的方法。例1.在平面直角坐標系中，點到點的距離的4倍與它到直線的距離的3倍之和記為.當點運動時，恒等于點的橫坐標與18之和.求點的軌跡.解　設(shè)點的坐標為，則由題設(shè)知，，即①當時，由①得，化簡得.4當時，由①得，化簡得.故點的軌跡是由橢圓在直線的右側(cè)部分與拋物線在直線的左側(cè)部分(包括它與直線x＝2的交點)所組成的曲線(如圖所示)。評注：本題考查了求軌跡方程的基本方法及兩點間的距離公式、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，同時也考查了絕對值的運算。直接法是求軌跡方程最常用也是最基本的方法之一，它的步驟是：①建

3、系；②設(shè)點；③列式；④化簡；⑤證明。一、定義法當動點軌跡的條件符合某一基本軌跡定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線），我們可以直接根據(jù)定義寫出動點的軌跡方程，這種方法稱為定義法。例2.已知圓和圓，動圓同時與圓及圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程.解　如圖所示，設(shè)動圓與圓及圓分別外切于點和，根據(jù)兩圓外切的條件，得，.∵，∴，即.4這表明動點與兩定點、的距離的差是常數(shù)2，根據(jù)雙曲線的定義，動點的軌跡為雙曲線的左支(點與的距離大，與的距離小)，這里，則，設(shè)點的坐標為，其軌跡方程為.評注：如果在題設(shè)中有關(guān)于到兩個定點距離之和為定值；到兩個定點距離之差（或差的絕

4、對值）為定值；到定點和到定直線的距離相等等，可以考慮利用圓錐曲線的定義直接寫出所求曲線的軌跡方程。一、代入法代入法又稱為轉(zhuǎn)移法或相關(guān)點法，若動點依賴于已知曲線上的另一動點的運動而運動，且點的坐標、可以用點的坐標、來表示，則可利用點在已知曲線上，其坐標滿足曲線方程，將、代入已知曲線方程而求得動點的軌跡方程。例3.設(shè)點為雙曲線上一動點，為坐標原點，為線段的中點，則點的軌跡方程為解設(shè)，，則，，在上，為所求軌跡方程。評注：本題考查了隨某點運動而運動的動點的軌跡方程的求法，其關(guān)鍵是尋找所求點與已知曲線上的動點之間的關(guān)系，在這里是借助了線段的中點坐標公式來

5、建立兩動點之間的關(guān)系的。用代入法求軌跡方程常用的策略是中點坐標公式、定比分點坐標公式、三角形重心、對稱性等。二、參數(shù)法4如果軌跡動點的坐標之間的關(guān)系不易找到，可以考慮將用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得到軌跡方程，此法稱為參數(shù)法。參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù)。例4.設(shè)拋物線的準線為，焦點為，頂點為，為拋物線上任意一點，于，求與的交點的軌跡方程。分析：涉及拋物線的動點，可以設(shè)點的坐標為參數(shù)，對拋物線，根據(jù)其方程可以設(shè)出含有一個參數(shù)的點的坐標，如拋物線上的點可以設(shè)為，也可以設(shè)為，后者較為簡單。解設(shè)拋物線上點，直線的方程為，又，，直線的方程，它們

6、的交點由方程組確定。消去，得.交點的軌跡方程為.4