矩陣方程的求解問題

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1、矩陣方程的求解問題白秀琴（平頂山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，基礎(chǔ)部，河南平頂山467001）摘要：主要考察了矩陣方程的求解問題，給出了一般矩陣方程當系數(shù)矩陣滿足不同條件時的兩種求解方法。關(guān)鍵詞：矩陣；矩陣的逆；矩陣方程矩陣是線性代數(shù)中的最重要的部分，它貫穿于線性代數(shù)的始終，可以說線性代數(shù)就是矩陣的代數(shù)，矩陣是處理高等數(shù)學(xué)很多問題的有力工具。矩陣方程是矩陣運算的一部分，這里我們主要討論如何求解矩陣方程的問題。掌握簡單的矩陣方程的求法，對于求解復(fù)雜的矩陣方程有很大幫助。簡單的矩陣方程有三種形式：如果這里的、都是可逆矩陣，則求解時需要找出矩陣的逆，注意左乘和右乘的區(qū)別。它們的解

2、分別為：例如，求解方程先考察是否可逆，如果可逆時，方程兩邊同時左乘，得即這里要注意只能左乘不能右乘，因為矩陣的乘法不滿足交換律。同樣，對于方程只能右乘，得即而對于方程只能是左乘而右乘，得即看下面解矩陣方程例題：例1：解：先求出，則則例2：解：先求出，則則例3：解：先求出，則則例4：解矩陣方程其中，是三階單位方陣。解：移項，將矩陣方程化為標準形式：由于可逆，兩邊同時左乘，得注：如果按計算，需要先求，再求，最后相乘，計算量大且易出錯。因此應(yīng)先盡量化簡矩陣方程，再計算求解。當矩陣方程中的、不是方陣或者是不可逆的方陣時，前面的方法就不能用了。這時，我們需要用待定元素法來

3、求矩陣方程。設(shè)未知矩陣的元素為，即，然后由所給的矩陣方程列出所滿足的線性方程組，通過解線性方程組求出所有元素，從而得到所求矩陣。例5：解矩陣方程解：利用元素法，先確定的行數(shù)等于左邊矩陣的行數(shù)的列數(shù)等于積矩陣的列數(shù)，則是的矩陣。設(shè)，則即，于是得方程組解得，所以，其中為任意實數(shù)。例6：解矩陣方程其中，由于，所以是不可逆矩陣，需要用元素法求解。設(shè)則，即比較第一列元素得，解得同樣，比較第二、三列元素可得對應(yīng)方程組，分別解得，所以可得，其中是任意實數(shù)?？傊瑢τ诰仃嚪匠?，當系數(shù)矩陣是方陣時，先判斷是否可逆。如果可逆，則可以利用左乘或右乘逆矩陣的方法求未知矩陣，如果方陣不可

4、逆或是系數(shù)矩陣不是方陣，則需要用待定元素法通過解方程確定未知矩陣。參考文獻：[1]趙樹塬。線性代數(shù)[M]。北京：中國人民大學(xué)出版社，1997[2]李君文，線性代數(shù)理論與解題方法[M]。長沙：湖南大學(xué)出版社，2002