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1、在這一節(jié)中,我們?nèi)砸詾榇?、歸結(jié)原則§3函數(shù)極限存在的條件三、柯西收斂準(zhǔn)則二、單調(diào)有界定理他類型的極限,也有類似的結(jié)論.表,介紹函數(shù)極限存在的條件.對于其返回一、歸結(jié)原則的充要條件是:對于在以x0為極限的都存在,并且相等.證(必要性)設(shè)則對任給定理3.8存在那么對上述存在所以這就證明了(充分性)（下面的證法很有典型性，大家必須學(xué)恒有時,不以A為極限,則存在正數(shù)設(shè)任給會這種方法.）現(xiàn)分別取存在相應(yīng)的使得對于任意正數(shù)使得另一方面,所以這與矛盾.注歸結(jié)原則有一個重要應(yīng)用：若存在但是不存在.例1都不存在.解故不存在.故不存在.密集的等幅振蕩,
2、當(dāng)然不會趨于一個固定的值.為了讓讀者更好地掌握其他五類極限的歸結(jié)原則,我們寫出時的歸結(jié)原則如下：-1-0.50.511-1的圖象在x=0附近作無比從幾何上看，義,則定理3.9的某空心右鄰域有定作為一個例題,下面給出定理3.9的另一種形式.義.的充要條件是任給嚴(yán)格遞減的例2的某空心右鄰域上有定證必要性應(yīng)該是顯然的.下面我們證明充分性.f(x)不以A為極限.則存在正數(shù)這樣就得到一列嚴(yán)格遞減的數(shù)列這與條件矛盾.二、單調(diào)有界定理定理3.10設(shè)f為定義在上的單調(diào)有界函數(shù),則右極限（相信讀者也能夠?qū)懗鲫P(guān)于證不妨設(shè)f在因為f(x)有界,故的單調(diào)有界
3、定理.）存在,設(shè)為A.由確界定義,對于由f(x)的遞減性,這就證明了對于單調(diào)函數(shù),歸結(jié)原則的條件就要簡單得多.例3存在的充要條件是存在一個數(shù)列證必要性可直接由歸結(jié)原則得出,下面證明充分對于任意當(dāng)時,有假設(shè)遞減．性.三、柯西收斂準(zhǔn)則的柯西收斂準(zhǔn)則,請讀者自這里僅給出有定義,則極限存在的充要條件是:任定理3.11設(shè)f(x)在的某個鄰域上明之.行寫出其他五種極限類型的柯西收斂準(zhǔn)則，并證對一切x>X，證（必要性）則對于任意(充分性)這樣就證明了對于任意的存在且相等.由歸結(jié)原則,存在.但是注由柯西準(zhǔn)則可知,不存在的充要條件例如,存在．
