角形中的最值問題.pdf

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1、角形中的最值問題--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________第42課三角形中的最值問題考點提要1．掌握三角形的概念與基本性質．2．能運用正弦定理、余弦定理建立目標函數，解決三角形中的最值問題．基礎自測1．（1）△ABC中

2、，cosA33sinA，則A的值為30°或90°；BC3（2）△ABC中，當A=時，cosA2cos取得最大值．3222．在△ABC中，sinA:sinB:sinCm:(m1):2m，則m的取值范圍是1m．2解由sinA:sinB:sinCa:b:cm:(m1):2m，1令amk,b(m1)k,c2mk，由abc,acb，得m．23．銳角三角形ABC中，若A=2B，則B的取值范圍是30o＜B＜45o．r4．設R，r分別為直角三角形的外接圓半徑和內切圓半徑，則的最大值R為21．25．在△ABC中，內角A，B，C所對邊的邊長分別是a,

3、b,c，若b3ac，則B的取值范圍是0＜°B≤120°．6．在△ABC中，若A>B，則下列不等式中，正確的為①②④．①sinA>sinB；②cosAsin2B；④cos2ABa>b2RsinA>2RsinBsinA>sinB，故①正確；2cosAB，故②正確（或由余22弦函數在(0,)上的單調性知②正確）；22由cos2AsinBA>B，故④正確．知識梳理1．直角△ABC中，內角A，B，C所對邊的邊

4、長分別是a,b,c，C=90°，若abc內切圓的半徑為r，則r．22．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基礎，起到工具性的作用．它們在處理三角形中的三角函數的求值、化簡、證明、判定三角形的形狀及解三角形等問題中有著廣泛的應用．例題解析例1已知直角三角形的周長為1，求其面積的最大值．3點評例2已知△ABC中，a1,b2．（1）求最小內角的最大值；（2）若△ABC是銳角三角形，求第三邊c的取值范圍．12c,解（1）由三角形三邊關系得第三邊c滿足2c1,解得1c3，故最小1c2,內角為A．2222bcac313133又cosA(

5、c)≥2c（當且僅2bc4c4c4c2當c3時等號成立），所以A≤30°，即最小內角的最大值為30°．（2）因為△ABC是銳角三角形，即A，B，C三個角均為銳角，又因為a＜b，所以A＜B，故只需說明B，C為銳角即可．421c401,0

6、＝2x．12根據面積公式得SABC=ABBCsinBx1cosB，2222222ABBCAC4x2x4x根據余弦定理得cosB，2ABBC4x4x2224x2128(x12)代入上式得SABC=x1()，4x162xx2,由三角形三邊關系有解得222x222，x22x,2128故當x12,x23時SABC取最大值22．16點評例4如圖，已知∠A=30°，P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ=2．當P，Q處于什么位置時，△APQ的面積最大？并求出△APQ的最大面積．5點評表示三角形的面積可采用兩邊及夾角的表示法，本題解法一運用了余弦定理和

7、基本不等式，解法二運用了正弦定理和基本不等式建立目標函數．uuuruuuruuur例5已知△ABC的周長為6，

8、BC

9、,

10、CA

11、,

12、AB

13、成等比數列，求：（1）△ABC的面積S的最大值；（2）BABC的取值范圍．uuuruuuruuur2解設

14、BC

15、,

16、CA

17、,

18、AB

19、依次為a，b，c，則a+b+c=6，b=ac．ac6b由bac≤得0b≤2（當且僅當a=c時，等號成立），2222222acbacac2acac1又由余弦定理得cosB≥（當且2ac2ac2ac2僅當a=c時，等號成立），故有0B≤，311212（1）SacsinB

20、bsinB≤2sin3，即S3（當且僅max2223當a=b=c時，等號成立）；22222acb(ac)2acb（2）BABCaccosB2222(6b)3b2(b3)27．2uuuruuurQ0b≤2,2≤BABC18．6點評本題運用均值定理進行