第2章維納濾波和卡爾曼濾波ppt課件.ppt

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1、第二章維納濾波和卡爾曼濾波2.5卡爾曼(Kalman)濾波2.1引言2.2維納濾波器的離散形式——時(shí)域解2.3離散維納濾波器的z域解2.4維納預(yù)測(cè)No.42.1引言觀測(cè)到的信號(hào)都是受到噪聲干擾的。如何最大限度地抑制噪聲，將有用信號(hào)提取出來(lái)，是信號(hào)處理基本的問(wèn)題。信號(hào)處理的目的就是要得到不受干擾影響的真正信號(hào)。相應(yīng)的處理系統(tǒng)稱為濾波器。這里，只考慮加性噪聲的影響，即觀測(cè)數(shù)據(jù)x(n)是信號(hào)s(n)與噪聲v(n)之和信號(hào)處理的目的是得到s(n)，也稱為期望信號(hào)，濾波系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，系統(tǒng)的期望輸出為yd(n)，yd(n)應(yīng)等于s(n)；系統(tǒng)的實(shí)際輸出為y(n)

2、，y(n)是s(n)的逼近或估計(jì)，yd(n)=s(n)，y(n)=　　。采用不同的最佳準(zhǔn)則，估計(jì)得到的結(jié)果可能不同對(duì)信號(hào)x(n)處理，可以看成是對(duì)期望信號(hào)的估計(jì)，可以將h(n)看作是估計(jì)器，信號(hào)處理的目的是要得到信號(hào)的一個(gè)最佳估計(jì)。維納(Wiener)濾波與卡爾曼(Kalman)濾波就是用來(lái)解決從噪聲中提取信號(hào)的過(guò)濾或預(yù)測(cè)問(wèn)題,。已知x(n),x(n-1),…,x(n-m)，估計(jì)以后時(shí)刻的信號(hào)值s(n+N),N≥1，這樣的估計(jì)問(wèn)題稱為預(yù)測(cè)問(wèn)題已知x(n),x(n-1),…,x(n-m)，估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)值s(n)，稱為過(guò)濾或?yàn)V波；已知x(n),x(n-1),…,x(n

3、-m)，估計(jì)過(guò)去的信號(hào)值s(n-N),N≥1，稱為平滑或內(nèi)插。以估計(jì)結(jié)果與信號(hào)真值之間的誤差的均方值最小作為最佳準(zhǔn)則。最小均方誤差準(zhǔn)則(MMSE,MininumMeanSquareError)得到結(jié)果是封閉公式。采用譜分解的方法求解，簡(jiǎn)單易行，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值，并且物理概念清楚維納濾波器的求解，要求知道隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律（自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度）維納濾波的最大缺點(diǎn)是僅適用于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)2.2維納濾波器的離散形式——時(shí)域解根據(jù)線性系統(tǒng)的基本理論，并考慮到系統(tǒng)的因果性，可以得到濾波器的輸出y(n):n=0,1,2,…設(shè)期望信號(hào)為d(n)，誤差信號(hào)及其均方值分別

4、為:2.2.1維納濾波器時(shí)域求解的方法要使均方誤差為最小，須滿足誤差的均方值是標(biāo)量，因此上式是一個(gè)標(biāo)量對(duì)復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，它等價(jià)于記j=0,1,2,…則上式可以寫為展開得j=0,1,2,…說(shuō)明：均方誤差達(dá)到最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，這就是正交性原理。它的重要意義在于提供了一個(gè)數(shù)學(xué)方法，用以判斷線性濾波系統(tǒng)是否工作于最佳狀態(tài)。因此輸出信號(hào)y(n)與誤差信號(hào)e(n)的互相關(guān)函數(shù)濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)的輸出為yopt(n)此時(shí)，輸出yopt(n)與期望信號(hào)d(n)的誤差為eopt(n)期望信號(hào)、估計(jì)值與誤差信號(hào)的幾何關(guān)系當(dāng)濾波器處于最佳工作狀

5、態(tài)時(shí)，估計(jì)值加上估計(jì)偏差等于期望信號(hào)對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，上圖中各矢量的幾何表示為相應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)平均或者是數(shù)學(xué)期望。假定輸入信號(hào)x(n)和期望信號(hào)d(n)都是零均值,應(yīng)用正交性原理因此在濾波器處于最佳狀態(tài)時(shí)，估計(jì)值y(n)的能量總是小于等于期望信號(hào)d(n)的能量。ryx(-k)=r*xy(k)k=0,1,2,…2.2.2維納—霍夫方程上式稱為維納-霍夫（Wiener－Hopf）方程。k=0,1,2,…當(dāng)k=0時(shí)當(dāng)h(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的因果序列(即系統(tǒng)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的FIR濾波器)時(shí)，維納-霍夫方程表述為當(dāng)k=1時(shí)當(dāng)k=M-1時(shí)可以寫成矩陣的形式已知期望信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的互相關(guān)

6、函數(shù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)矩陣求逆運(yùn)算，得到維納濾波器的最佳解。同時(shí)可以看到，直接從時(shí)域求解因果的維納濾波器，當(dāng)選擇的濾波器的長(zhǎng)度M較大時(shí)，計(jì)算工作量很大，并且需要計(jì)算Rxx的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，在具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器的長(zhǎng)度是由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定的，如果想通過(guò)增加長(zhǎng)度提高逼近的精度，就需要在新M基礎(chǔ)上重新進(jìn)行計(jì)算。因此，從時(shí)域求解維納濾波器，并不是一個(gè)有效的方法。假定所研究的信號(hào)都是零均值的，維納濾波器為M長(zhǎng)的FIR型，估計(jì)的均方誤差為：2.2.3估計(jì)誤差的均方值均方誤差與濾波器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系。由于單位脈沖響應(yīng)h(n)為M維向量

7、，因此均方誤差是一個(gè)M維超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點(diǎn)存在。當(dāng)濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)，均方誤差取得最小值。例:設(shè)y(n)=x(n)+v2(n),v2(n)是白噪聲,方差σ22=0.1.期望信號(hào)x1(n)的信號(hào)模型如圖(a)所示，其中白噪聲v1(n)的方差σ21=0.27,b0=0.8458。x(n)的信號(hào)模型如圖(b)所示，b1=0.9458。假定v2(n)與x(n)、x1(n)不相關(guān)，并都是實(shí)信號(hào)。設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器，得到該信號(hào)的最佳估計(jì)，要求濾波器是一長(zhǎng)度為2的FIR濾波器。解觀測(cè)數(shù)據(jù)為y(n)，期望信號(hào)為x1(n)m=0,1計(jì)算輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)