【第8章】維納濾波和卡爾曼濾波ppt課件.ppt

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1、第八章維納濾波器和卡爾曼濾波器隨機(jī)信號(hào)或隨機(jī)過程(randomprocess)是普遍存在的，任何確定性信號(hào)經(jīng)過測量后往往就會(huì)引入隨機(jī)性誤差而使該信號(hào)隨機(jī)化.通常把對(duì)信號(hào)或系統(tǒng)功能起干擾作用的隨機(jī)信號(hào)稱之為噪聲，噪聲按功率譜密度劃分可以分為白噪聲(whitenoise)和色噪聲(colornoise).均值為0的白噪聲叫純隨機(jī)信號(hào)(purerandomsignal).任何隨機(jī)信號(hào)都可看成是純隨機(jī)信號(hào)與確定性信號(hào)并存的混合隨機(jī)信號(hào).8.1基本概念干擾(interference)和噪聲(noise)是兩個(gè)不同的概念，非

2、目標(biāo)信號(hào)(nonobjectivesignal)都可叫干擾.干擾可以是確定信號(hào)(如50Hz工頻干擾)，也可以是噪聲.信號(hào)和干擾以及隨機(jī)噪聲同時(shí)輸入濾波器時(shí)，如何在輸出端將信號(hào)盡可能精確地表現(xiàn)出來被看成是一種估計(jì)問題或者線性預(yù)測問題.維納濾波和卡爾曼濾波(WienerandKalmanFiltering)就是用來解決這樣一類問題的方法.設(shè)有一線性系統(tǒng)h(n)，當(dāng)輸入一個(gè)觀測到的隨機(jī)信號(hào)(簡稱觀測值)，且該信號(hào)包含噪聲和有用信號(hào)(簡稱信號(hào)).即則輸出為希望輸出的y(n)與有用信號(hào)s(n)盡量接近，稱為s(n)的估計(jì)值.維

3、納濾波器的系統(tǒng)框圖如圖示.這個(gè)系統(tǒng)的h(n)也稱為對(duì)于有用信號(hào)s(n)的一種估計(jì)器.如果系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，則輸出y(n)可以看成是由當(dāng)前時(shí)刻的觀測值x(n)和過去時(shí)刻的觀測值x(n-1)、x(n-2)、x(n-3)…確定的估計(jì)值.用當(dāng)前時(shí)刻和過去時(shí)刻的觀測值來估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)y(n)=s^(n)稱為濾波.用過去時(shí)刻的觀測值來估計(jì)當(dāng)前的或?qū)淼男盘?hào)y(n)=s^(n+N)稱為預(yù)測.用過去時(shí)刻的觀測值來估計(jì)過去的信號(hào)y(n)=s^(n-N)稱為平滑或者內(nèi)插.從系統(tǒng)框圖中估計(jì)到的信號(hào)和我們期望得到的有用信號(hào)可能不完全相同，用e

4、(n)來表示真值和估計(jì)值之間的誤差:顯然e(n)是隨機(jī)變量.維納濾波和卡爾曼濾波的誤差準(zhǔn)則都是最小均方誤差準(zhǔn)則：維納濾波和卡爾曼濾波在平穩(wěn)條件的穩(wěn)態(tài)結(jié)果是一致的，但是它們解決問題的方法不同.維納濾波是根據(jù)全部過去觀測值和當(dāng)前觀測值來估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值，因此它的解形式是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或單位脈沖響應(yīng).卡爾曼濾波是根據(jù)當(dāng)前一個(gè)估計(jì)值和最近一個(gè)觀測值來估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值，它的解形式是狀態(tài)變量值.設(shè)計(jì)維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng)或傳遞函數(shù).設(shè)計(jì)工作的實(shí)質(zhì)就是解維納－霍夫(W-H)方程.可以從時(shí)域入手

5、求最小均方誤差下的h(n)，用hopt(n)表示最佳線性濾波器.我們只討論因果可實(shí)現(xiàn)濾波器的設(shè)計(jì).8.2維納濾波器的時(shí)域解8.2.1因果維納濾波器設(shè)h(n)是物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，則要使得E[e2(n)]最小，可將上式對(duì)各h(m)，m=0,1,…,求偏導(dǎo)，并且令其等于零，得即用相關(guān)函數(shù)R來表達(dá)上式，則得到W－H方程：從W－H方程中解出的hopt(n)就是最小均方誤差下的最佳h(n).這時(shí)的均方誤差為最小：進(jìn)一步化簡得：如何去求解W－H方程，即求hopt(n).設(shè)h(n)是一個(gè)因果序列，且可以用有限長(N點(diǎn))的序列去逼近它，

6、則8.2.2有限脈沖響應(yīng)法求解W－H方程于是得到N個(gè)線性方程：寫成矩陣形式：簡化形式：式中：是待求的單位脈沖響應(yīng).是互相關(guān)序列.是自相關(guān)矩陣.求得hopt(n)后，這時(shí)的均方誤差為最?。褐灰猂xx是非奇異的，就可以求得化簡得：用有限長的h(n)來實(shí)現(xiàn)維納濾波時(shí)，當(dāng)已知觀測值的自相關(guān)和觀測值與信號(hào)的互相關(guān)時(shí)就可以按照下式在時(shí)域里求解hopt(n).當(dāng)N比較大時(shí)，計(jì)算量很大，并且涉及到求自相關(guān)矩陣的逆矩陣問題.則有若信號(hào)s(n)與噪聲w(n)互不相關(guān)，即所以【例題】w(n)是方差為1的單位白噪聲，試設(shè)計(jì)一個(gè)N＝2的維納濾

7、波器來估計(jì)s(n)，并求最小均方誤差.已知圖中x(n)=s(n)+w(n)，且s(n)與w(n)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，其中s(n)的自相關(guān)序列為:所以解得解：依題意，信號(hào)的自相關(guān)和噪聲的自相關(guān)為：最小均方誤差：隨機(jī)信號(hào)都可以看成是由白色噪聲w1(n)激勵(lì)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的響應(yīng)，如圖所示.8.2.3預(yù)白化法求解W－H方程白噪聲自相關(guān)函數(shù):它的ZT等于:輸出信號(hào)自相關(guān)函數(shù):根據(jù)卷積性質(zhì)有:令l=r-k，則令則對(duì)上式進(jìn)行ZT得到系統(tǒng)函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的ZT之間的關(guān)系：同樣有：利用卷積性質(zhì)可以找到互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系：兩邊ZT得到：如果已

8、知觀測信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，求它的ZT，然后找到該函數(shù)的成對(duì)零極點(diǎn)，取其中在單位圓內(nèi)的那一半零點(diǎn)極點(diǎn)構(gòu)成B(z)，另外在單位圓外的零極點(diǎn)構(gòu)成B(z-1)，這樣就保證系統(tǒng)是因果最小相位系統(tǒng).由于由于系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的最小相位系統(tǒng).1/B(z)也是一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的最小相移網(wǎng)絡(luò)函數(shù).我們就可以對(duì)x(n)進(jìn)行白化，