資源描述：
《現(xiàn)代控制理論控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解ppt課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解本章要點(diǎn)：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）一．零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為當(dāng)系統(tǒng)輸入為零時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)方程為齊次方程：齊次方程的解就是由初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)，稱為自由解，又稱為零輸入響應(yīng)。§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）結(jié)論：設(shè)（2－1）式中，為n維向量，A為n×n維常陣。定義n×n的矩陣指數(shù)函數(shù)：則（2－1）式所描述的線性定常系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：證明：令方程（2－1）的解為系數(shù)向量待定的一個(gè)冪級(jí)數(shù)，即其必滿足方程（2－1）
2、，將上式代入方程（2－1）可得§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）比較可得：代入（2－2）式可得：由初始條件：可得：，故§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）線性定常系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的幾點(diǎn)說(shuō)明：1).如果t取某個(gè)固定值，零輸入響應(yīng)就是狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)經(jīng)線性變換陣所導(dǎo)出的一個(gè)變換點(diǎn)。系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)就是由初始狀態(tài)出發(fā)，并由各個(gè)時(shí)刻的變換點(diǎn)所組成的一條軌線。2).零輸入響應(yīng)軌線的形態(tài)由矩陣指數(shù)函數(shù)唯一地確定；3).線性定常系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：(系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的條件是：當(dāng)時(shí)，自由運(yùn)動(dòng)的軌跡將趨于系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，即狀態(tài)空
3、間的原點(diǎn))4).求解零輸入響應(yīng)的核心是計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)?！?－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）二．矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算方法1.矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)由矩陣指數(shù)函數(shù)的定義：可得以下一些基本性質(zhì)：①§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）證明：③矩陣指數(shù)函數(shù)的逆：證明：因?yàn)樗寓诹詈蜑閮蓚€(gè)自變量，則必成立：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）④矩陣指數(shù)函數(shù)對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為：證明：⑤設(shè)有n×n維常陣A和B，如果A和B是可交換的，即AB=BA，則必成立：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）而因此：證明：§2－1線性定常齊
4、次狀態(tài)方程的解（自由解）2.矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方法方法一：根據(jù)的定義直接計(jì)算。方法二：將A陣化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型求解1.A的特征值為兩兩互異若A的n個(gè)特征值兩兩互異，則在求出使A陣實(shí)現(xiàn)對(duì)角化的變換陣后，即有指數(shù)函數(shù)矩陣：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）證明：由可得證畢?！?－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）2.A的特征值存在重根若A的n個(gè)特征值為：，則在求出使A陣為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：其中：為陣的變換陣后，即有指數(shù)函數(shù)矩陣：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）其中證明：證明的思路與1相同。由可得§2－1線性定
5、常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）證明：由指數(shù)函數(shù)矩陣的定義有：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）而§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）方法三：拉氏變換法證明：由指數(shù)矩陣的定義：對(duì)上式取拉氏反變換：得證?！?－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）方法四：應(yīng)用凱萊－哈迷爾頓定理將表示為一個(gè)多項(xiàng)式若A的特征值兩兩互異，則多項(xiàng)式的系數(shù)可按下式計(jì)算：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）其中：若A的n個(gè)特征值為：，則系數(shù)可按下式計(jì)算：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）證明：1.凱萊－哈迷爾頓定理設(shè)，其特征多項(xiàng)式為：
6、則矩陣A必滿足其特征多項(xiàng)式，即由凱萊－哈迷爾頓定理可表示為的線性組合,即進(jìn)而有：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）這樣均可表示為的線性組合。故有：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）若A的特征值兩兩互異，則有因此：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）即:§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）比較等式兩邊可得寫成矩陣形式：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）即有：對(duì)于有重根的情況，可類似地方法證明。得證?！?－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）例設(shè)系統(tǒng)矩陣為：按照矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和拉氏變換法求。
7、解：（1)用定義計(jì)算§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）（1)用拉氏變換法計(jì)算由§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）解：矩陣A的特征方程為解得系統(tǒng)特征根為：化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的變換陣為：例用標(biāo)準(zhǔn)型法計(jì)算系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）于是：§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）解：矩陣A的特征方程為解得系統(tǒng)特征根為：例用凱萊－哈密爾頓法計(jì)算系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)§2－1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）于是：§2－2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣一.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義定義：對(duì)于給定的線性定常系統(tǒng)其中
8、，x為n維狀態(tài)向量，稱滿足如下矩陣方程的n×n解陣為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。求解矩陣微分方程可得，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：當(dāng)時(shí)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可表示為§2－2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣l.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表示：或2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的物理意義：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣實(shí)質(zhì)上就等于矩陣指數(shù)函數(shù)，之所以將矩
