時(shí)小玲外文翻譯.doc

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1、畢業(yè)論文外文資料翻譯學(xué)院：理學(xué)院專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)姓名：時(shí)小玲學(xué)號(hào)：外文出處：steven-leon-linear-algebra-with(用外文寫)-application-8th-edition附件：1.外文資料翻譯譯文；2.外文原文。指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)：該學(xué)生的英文文獻(xiàn)與本課題相關(guān)，翻譯量符合要求，譯文能表達(dá)原文的含義，用詞比較準(zhǔn)確，行文比較流暢，體現(xiàn)了該學(xué)生較好的外文閱讀能力，達(dá)到了本科生對(duì)外文閱讀的要求。簽名：李云紅2016年05月08日附件1：外文資料翻譯譯文正定矩陣在第六節(jié)中，我們證明了對(duì)稱矩陣是正定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全是正的。這種類型的矩陣出現(xiàn)在各

2、種各樣的應(yīng)用中，它們常常出現(xiàn)在常微分方程數(shù)值解中通過(guò)有限差分法或有限元法。由于它們?cè)趹?yīng)用數(shù)學(xué)中的重要性，我們這一節(jié)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)放在它的性質(zhì)上?；叵胍粋€(gè)階對(duì)稱矩陣是正定的，如果>0對(duì)于一切非零向量。在定理6.6.2中，對(duì)稱正定矩陣通過(guò)它們所有的特征值是正的這一情況來(lái)表示特性。這一描述可以用來(lái)成立以下性質(zhì)。性質(zhì)一：如果是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，那么是滿秩的。性質(zhì)二：如果是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，那么如果是奇異的，則是的一個(gè)特征值，因?yàn)榈乃刑卣髦刀际钦模欢ㄊ菨M秩的。第二性質(zhì)也由定理得出。因?yàn)椤＝o出一個(gè)階矩陣，令標(biāo)識(shí)刪除的最后一個(gè)行和列的矩陣，叫做的主要子矩陣。我們可以說(shuō)明正定矩陣

3、第三個(gè)性質(zhì)：為了證明是正定的，，令（）為任意非零向量ｒ且令（、00），則由于=，由此證明是正定實(shí)的。性質(zhì)1,2,3的直接結(jié)論是如果是對(duì)稱正定矩陣A的主要余子式，那么是滿秩的并且。這在高斯排除法中有很大的作用。一般來(lái)講，如果是一個(gè)階矩陣的主要余子式都是滿秩的，那么可以只通過(guò)行操作化簡(jiǎn)成上三角矩陣，也就是說(shuō)，在化簡(jiǎn)過(guò)程中對(duì)角線元素永遠(yuǎn)不會(huì)是，因此化簡(jiǎn)可以不改變行位置就完成。性質(zhì)四：如果A是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，那么A可以只通過(guò)行操作化簡(jiǎn)成一個(gè)上三角矩陣，且中心元素都是正的。讓我們用一個(gè)44階的對(duì)稱正定矩陣來(lái)闡明性質(zhì)四。首先注解，因此a可作為中心元素且第一行是第一中心行。令表

4、示第一列最后三個(gè)元素之后的位置入口已經(jīng)被排除。（見(jiàn)表）→→表在這個(gè)步驟中，子矩陣轉(zhuǎn)變成一個(gè)矩陣由于自轉(zhuǎn)換只能使用行操作來(lái)完成，行列式的值保持不變，所以()=,因此，==，因?yàn)?，它可以用作消除過(guò)程第二步的中心點(diǎn)。第二步之后，矩陣被轉(zhuǎn)變?yōu)?，因?yàn)橹挥行胁僮鞅粦?yīng)用，=,因此==，所以，可以被用作最后一步的中心點(diǎn)。第三步之后，余下的對(duì)角線元素將是=。一般地說(shuō)，如果一個(gè)階矩陣可以化解成一個(gè)上三角矩陣形式，沒(méi)有任何行的互換，那么可以因式分解為乘積的形式，是對(duì)角線為的下三角矩陣，對(duì)角線下的元素在消除過(guò)程中將成為從第列減去第行的倍數(shù)。我們用一個(gè)的例子來(lái)說(shuō)明：令=,矩陣通過(guò)以下過(guò)程來(lái)確

5、定：化簡(jiǎn)過(guò)程第一步，第二行減去第一行乘以，第三行減去第一行乘以，類似這種操作，我們令=，且=,第一步之后，我們得到矩陣。第三行減去第二行乘以完成最后的化簡(jiǎn)；同理可得，我們令=。第二步之后，我們得到上三角矩陣==，矩陣=。由此我們可以得出結(jié)論：。即為了證明該因式分解成立，讓我們通過(guò)初等矩陣的變換過(guò)程來(lái)論證。操作Ⅲ在過(guò)程中應(yīng)用了三次，這等價(jià)于在其左側(cè)乘上3個(gè)初等矩陣。因此，。由于初等矩陣是滿秩的，由此可見(jiàn)。當(dāng)逆初等矩陣以這種順序相乘時(shí)，其結(jié)果為一個(gè)對(duì)角線為1的下三角矩陣L。L的對(duì)角線下的元素將成為消除過(guò)程中減去兩倍數(shù)。。給出矩陣A的因式分解LU，我們能進(jìn)一步將U因式分解

6、成的乘積，其中D為對(duì)角矩陣且是上三角矩陣。那么。一般來(lái)講，如果A可以被因式分解為L(zhǎng)DU乘積的形式，其中L為下三角矩陣，D為對(duì)角矩陣，U為上三角矩陣，并且L和U都是對(duì)角線為1的矩陣，那么這樣的因式分解是唯一的。（見(jiàn)習(xí)題7）如果是對(duì)稱正定矩陣，那么可以被因式分解為的乘積，的對(duì)角線元素為，這些元素為化解過(guò)程中的中心元素。由性質(zhì)6知，這些元素都是正數(shù)。而且，因?yàn)锳是對(duì)稱的。。由因式分解的唯一性可得。因此。我們經(jīng)常將這種重要的因式分解用于數(shù)值計(jì)算中。在求解對(duì)稱正定矩陣線性方程時(shí)，利用因式分解有效進(jìn)行計(jì)算。性質(zhì)5如果A是對(duì)稱正定矩陣，那么A可以因式分解為的乘積形式，其中L是對(duì)角

7、線的下三角矩陣，D為對(duì)角矩陣且對(duì)角元素均為正數(shù)。由例1我們可得到==LU提出的對(duì)角元素，我們可得到：由于對(duì)角線元素為正，我們可以進(jìn)一步因式分解。令同時(shí)令，那么這種因式分解稱為的柯列斯基分解。性質(zhì)6（柯列斯基分解）如果是對(duì)稱正定矩陣，那么可以因式分解為的乘積，其中是下三角矩陣且對(duì)角線元素為正的。令例1和例2中的矩陣，如果我們令那么===矩陣=也可以依據(jù)上三角矩陣來(lái)寫。事實(shí)上，如果，那么。此外，不難證明任何的結(jié)果都是正定的，如果是滿秩的。將這所有結(jié)果放在一起，我們將得到以下定理：定理令為階對(duì)稱矩陣，以下為等價(jià)的：（a）是正定的。（b）子矩陣都有正的行列式。（c）僅使