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《概率論第四章4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)及矩ppt課件.ppt》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、一、協(xié)方差及其性質(zhì)第三節(jié)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及矩二、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)三、矩我們先看一個例子。在研究子女與父母的相象程度時，有一項是關(guān)于父親的身高和其成年兒子身高的關(guān)系.收集了1078個父親及其成年兒子身高的數(shù)據(jù),畫出了這里有兩個變量：一個是父親的身高，一個是成年兒子身高.為了研究二者關(guān)系.英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜一張散點圖.從圖上看出:父親及其成年兒子身高有關(guān)系,但沒有明確的函數(shù)關(guān)系.類似的問題有：受教育程度和收入有什么關(guān)系？高考入學(xué)分?jǐn)?shù)和大學(xué)學(xué)習(xí)成績有什么關(guān)系？需要給出度量兩變量的相互關(guān)系的指標(biāo).為了研究諸如此類的兩變量的相互關(guān)系問題，特征中，最重要的就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)前面我們介紹了
2、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量在概率意義下的平均值，方差則反映了隨機(jī)變量相對于其均值的離散程度，這對我們了解隨機(jī)變量有一定的幫助，隨機(jī)變量，但對于二維我們除了關(guān)心的期望和方差外，還希望知道他們的關(guān)系，在反映分量之間關(guān)系的數(shù)字分析E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}的取值情況若X，Y相互獨立，則E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0若X，Y不相互獨立，則E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}不一定等于零.于是E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一定程度上反映了X與Y的關(guān)系，稱之為X與Y的協(xié)方差一協(xié)方差的定義1、定義：若E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}存在，稱
3、E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}為隨機(jī)變量X,Y的協(xié)方差.即,cov(X,Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}記做cov(X,Y)大家可以由方差的定義思考協(xié)方差的由來=cov(X,X)；=cov(Y,Y)；注(1)若X與Y獨立，則Cov(X,Y)=0證:(3)(2)1.cov(X,Y)＝cov(Y,X)；2.cov(aX,bY)＝abcov(X,Y),a,b是常數(shù)；3.cov(X1+X2，Y)＝cov(X1,Y)+cov(X2,Y).二、協(xié)方差的性質(zhì)4.Cov(X,C)=0相互獨立同分布，計算協(xié)方差解例1設(shè)隨機(jī)變量且其方差為,令例2設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為問X和Y是否相互獨立？
4、解⑴先求關(guān)于X和Y的邊緣概率密度因為,所以X和Y不相互獨立。⑵求X和Y的協(xié)方差所以=0.注意：Cov(X,Y)=0，但X,Y卻不獨立但它還受X與Y本身度量單位的影響.Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點，對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化:這就引入了相關(guān)系數(shù).協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，例如：為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).在不致引起混淆，也簡記為定義:設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為求：，0.300.120.180.100.180.12－11-201YX例3解 邊緣分布律為與的協(xié)方差為:0.300.120.180.10
5、0.180.12－11-201YX下面求的方差:與的相互關(guān)系數(shù)為:考慮用X的線性函數(shù)a+bX近似的表示Y即X和Y以概率1線性相關(guān).定義設(shè)隨機(jī)變量X,Y的相關(guān)系數(shù)存在,2）ρXY＝－1，稱X,Y負(fù)相關(guān)；1）ρXY＝1，稱X,Y正相關(guān)；3）ρXY＝0，稱X,Y不相關(guān).注.ρXY＝0僅說明X,Y之間沒有線性關(guān)系，但可以有其他非線性關(guān)系.若隨機(jī)變量X與Y相互獨立，則X與Y不相關(guān)，(X,Y)~N(μ1,σ21;μ2,σ22;ρ),則X,Y相互獨立ρ＝0.但是此定理的逆定理不成立,即由ρXY＝0不能得到X與Y相互獨立.但是,對于二維正態(tài)分布,則有推論設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=co
6、sX,因而=0，即X和Y不相關(guān).但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，即X和Y不獨立.例4EX=0E(XY)=0Cov(X,Y)=0X,Y具有明顯的函數(shù)關(guān)系,只是沒有線性關(guān)系例題5X-2-112140??0?001/4Y例6設(shè)隨機(jī)變量相互獨立，且解例7將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，求的相關(guān)系數(shù)。解:滿足故Cov(X,Z)=2,D(X)=4,D(Z)=2矩和協(xié)方差矩陣第四章第四節(jié)矩和協(xié)方差的定義若存在，稱它為的階原點矩，簡稱階矩。若存在，稱它為的階中心矩。階混合矩。若存在，稱它為和的若存在，和的稱它為階混合中心矩。和是隨機(jī)變量，設(shè)矩：協(xié)方差陣：二維隨機(jī)變量(X,Y)記為隨機(jī)變
7、量(X,Y)的協(xié)方差陣。n維隨機(jī)變量3）C是非負(fù)定矩陣；對稱陣三、協(xié)方差矩陣的性質(zhì)例題10作業(yè)p1141,2p12122
