由折疊問題引出的思考

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1、由折疊引發(fā)的思考蛟川書院王姣慧一、教學(xué)目的1.通過感受操作的必要性，梳理折疊問題中蘊藏的數(shù)學(xué)知識，提煉出解題的基本方法。2.通過問題思考，鞏固基礎(chǔ)知識，提煉基本圖形，內(nèi)化基本方法。3.在問題解決的思路形成過程中，不斷提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力，領(lǐng)會變中尋找不變量（關(guān)系），一般折疊問題的轉(zhuǎn)化方向，構(gòu)建方程模型等思想方法，提升學(xué)生的思維能力。二、教學(xué)重、難點教學(xué)重點：在折疊過程中學(xué)會對基本知識的梳理，基本數(shù)學(xué)方法的提煉。教學(xué)難點：在復(fù)雜的圖形背景下基本圖形的提煉的方法與解題思路的分析。三、教學(xué)設(shè)計折紙藝術(shù)源于17世紀(jì)的日本，并在20世紀(jì)中葉傳遍世界各地，如今的折紙已經(jīng)融合了諸多的現(xiàn)代工藝和數(shù)學(xué)原

2、理，從而使現(xiàn)在的折紙藝術(shù)更加地震撼奪目，讓人驚嘆不已。今天以一張長方形紙片為學(xué)具進行折疊，充分展示在折紙中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程.ABABCCDDEEFF60㎝[試一試]將一張長為70㎝的長方形紙片ABCD沿對稱軸EF折疊成如圖所示的形狀,若折疊后,AB與CD間的距離為60㎝,則原紙片的寬AB是_________㎝.【設(shè)計意圖】引入此問題旨在感受動手實踐（折紙）在解決問題中的重要性，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活緊密相關(guān)。（出示標(biāo)題：由折疊問題引發(fā)的思考）1梳理知識，提煉方法如圖，將一張長方形紙片翻折使重疊部分始終是三角形（陰影部分），隨著的大小不同，△ABC的形狀也將發(fā)生變化.（1）如圖1，當(dāng)＝25度時，

3、重疊部分的三角形各內(nèi)角是多少？（2）如圖2，當(dāng)＝45時，重疊部分的三角形各內(nèi)角是多少？（3）如圖3，當(dāng)＝75時，重疊部分的三角形各內(nèi)角是多少？（3）當(dāng)0＜＜90時，折紙所得的所有三角形有何共同特點？說明理由.探索：如圖，將一張長方形紙片翻折，使重疊部分始終是三角形（陰影部分），隨著∠的大小不同，△ABC也將發(fā)生變化.設(shè)0＜＜90.（1）當(dāng)重疊部分是直角三角形時，應(yīng)滿足什么條件？（2）當(dāng)重疊部分是等邊三角形時，應(yīng)滿足什么條件？（3）當(dāng)重疊部分是鈍角三角形時，應(yīng)滿足什么條件？【理一理】長方形的折疊問題主要用到了哪些數(shù)學(xué)知識，解決問題中你體驗到了什么方法？（1）折疊的實質(zhì)——軸對稱變換，包含著對應(yīng)

4、角、對應(yīng)線段相等。（2）折疊問題解決的一般方法：把研究的問題轉(zhuǎn)化到三角形中。【設(shè)計意圖】通過對知識與方法的整理，有助于學(xué)生完善知識網(wǎng)絡(luò)，并形成解決問題的清晰思路。2鞏固知識，內(nèi)化方法1．如圖所示，將長方形紙片ABCD進行折疊，(1)如果∠DEH=70°，那么∠BHE為多少度？你還能知道哪些角的度數(shù)？(2)如果∠BHG=70°，那么∠BHE為多少度？你還能知道哪些角的度數(shù)？2.如圖，在長方形紙片ABCD中，AB=3，AD=4，將長方形沿對角線BD折疊，重疊部分為△EBD.(1)寫出圖中的全等三角形；(2)圖中哪些線段可求？(3)你能求△EBD的面積嗎？3.把圖一的長方形紙片ABCD折疊，B、C

5、兩點恰好重合落在AD邊上的點P處（如圖二），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，①求BC的長；②求長方形紙片ABCD的面積；③求圖二中AD的長．【設(shè)計意圖】通過將折痕特殊化和改變折疊的次數(shù)，一方面強化學(xué)生運用知識的能力，另一方面使學(xué)生把握變中不變量，關(guān)注對方程思想的滲透，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，有效提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。3反思與小結(jié)結(jié)合本堂課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀愕氖斋@…4課后反饋，形成能力（圖2）1．如圖1，把長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處；（1）求證：B′E=BF；（2）設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種

6、關(guān)系，并給予證明．變式：在長方形ABCD中，AB=6，BC=8.（1）將長方形紙片ABCD沿BD折疊，使點A落在點E處（如圖2-①—1），設(shè)DE與BC相交于點F，則BF的長是多少？（2）將長方形紙片按如圖2—②折疊，使點B與點D重合，折痕為GH，則GH的長是多少？2.上網(wǎng)查閱（1）你能借助于長方形紙片，折出正三角形30°和60°嗎？（2）如何用正方形紙片折出正多邊形。參考網(wǎng)站：http://hi.baidu.com/icomputational/item/122ce8d79bdae213d80e4461