第一講__數(shù)列的極限典型例題.doc

第一講__數(shù)列的極限典型例題.doc

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1、第一講數(shù)列的極限一、內(nèi)容提要1.數(shù)列極限的定義,有.注1的雙重性.一方面,正數(shù)具有絕對的任意性,這樣才能有無限趨近于另一方面,正數(shù)又具有相對的固定性,從而使不等式.還表明數(shù)列無限趨近于的漸近過程的不同程度,進(jìn)而能估算趨近于的近似程度.注2 若存在,則對于每一個正數(shù),總存在一正整數(shù)與之對應(yīng),但這種不是唯一的,若滿足定義中的要求,則取,作為定義中的新的一個也必須滿足極限定義中的要求,故若存在一個則必存在無窮多個正整數(shù)可作為定義中的.注3 的幾何意義是:對的預(yù)先給定的任意鄰域,在中至多除去有限項,其余的無窮多項將全部進(jìn)入.注4 ,有.2. 子列的定

2、義在數(shù)列中,保持原來次序自左往右任意選取無窮多個項所得的數(shù)列稱為的子列,記為,其中表示在原數(shù)列中的項數(shù),表示它在子列中的項數(shù).注1對每一個,有.注2對任意兩個正整數(shù),如果,則.反之,若,則.注3,有.注4的任一子列收斂于.3.數(shù)列有界對數(shù)列,若,使得對,有,則稱數(shù)列為有界數(shù)列.4.無窮大量對數(shù)列,如果,,有,則稱為無窮大量,記作.注1只是一個記號,不是確切的數(shù).當(dāng)為無窮大量時,數(shù)列是發(fā)散的,即不存在.注2若,則無界,反之不真.注3設(shè)與為同號無窮大量,則為無窮大量.注4設(shè)為無窮大量,有界,則為無窮大量.注5設(shè)為無窮大量,對數(shù)列,若,使得對,有,

3、則為無窮大量.特別的,若,則為無窮大量.5.無窮小量若,則稱為無窮小量.注1若,有界,則.注2若,則;若,且使得對,,則.6.收斂數(shù)列的性質(zhì)(1)若收斂,則必有界,反之不真.(2)若收斂,則極限必唯一.(3)若,,且,則,使得當(dāng)時,有.注這條性質(zhì)稱為“保號性”,在理論分析論證中應(yīng)用極普遍.(4)若,,且,使得當(dāng)時,有,則.注這條性質(zhì)在一些參考書中稱為“保不等號(式)性”.(5)若數(shù)列、皆收斂,則它們和、差、積、商所構(gòu)成的數(shù)列,,,()也收斂,且有             ,             ,           ?。ǎ?.迫斂性(

4、夾逼定理)若,使得當(dāng)時,有,且,則.8.單調(diào)有界定理單調(diào)遞增有上界數(shù)列必收斂,單調(diào)遞減有下界數(shù)列必收斂.9.Cauchy收斂準(zhǔn)則數(shù)列收斂的充要條件是:,有.注 Cauchy收斂準(zhǔn)則是判斷數(shù)列斂散性的重要理論依據(jù).盡管沒有提供計算極限的方法,但它的長處也在于此――在論證極限問題時不需要事先知道極限值.10.BolzanoWeierstrass定理有界數(shù)列必有收斂子列.11.12.幾個重要不等式(1)(2)算術(shù)-幾何-調(diào)和平均不等式:對記(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)有均值不等式:等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.(3)Bernoulli不等式:(

5、在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)對由二項展開式(4)Cauchy-Schwarz不等式: (),有     ?。ǎ担?,13. O.Stolz公式二、典型例題1.用“”“”證明數(shù)列的極限.(必須掌握)例1 用定義證明下列各式:(1);(2)設(shè),,則;(97,北大,10分)(3)證明:(1),欲使不等式       成立,只須,于是,,取,當(dāng)時,有       即.(2)由,,知,有,則于是,,有,即            ?。ǎ常┮阎?,因為,所以,,欲使不等式成立,只須.  于是,,取,當(dāng)時,有      ,即       ?。u注1 本例中,我

6、們均將做了適當(dāng)?shù)淖冃?,使得,從而從解不等式中求出定義中的.將放大時要注意兩點(diǎn):①應(yīng)滿足當(dāng)時,.這是因為要使,必須能夠任意??;②不等式容易求解.評注2 用定義證明,對,只要找到一個自然數(shù),使得當(dāng)時,有即可.關(guān)鍵證明的存在性.評注3 在第二小題中,用到了數(shù)列極限定義的等價命題,即:(1),有(為任一正常數(shù)).(2),有.例2 用定義證明下列各式:(1);(92,南開,10分)(2)證明:(1)(方法一)由于(),可令(),則()當(dāng)時,,有      即     .,欲使不等式成立,只須.于是,,取,當(dāng)時,有,即       ?。ǚ椒ǘ┮驗?,所

7、以,,欲使不等式成立,只須.于是,,取,當(dāng)時,有,即       ?。ǎ玻┊?dāng)時,由于,可記(),則()當(dāng)時,,于是有.,欲使不等式成立,只須.對,取,當(dāng)時,有.當(dāng)時,(),而.則由以上證明知,有,即,故.評注1 在本例中,,要從不等式中解得非常困難.根據(jù)的特征,利用二項式定理展開較容易.要注意,在這兩個小題中,一個是變量,一個是定值.評注2 從第一小題的方法二可看出算術(shù)-幾何平均不等式的妙處.評注3 第二小題的證明用了從特殊到一般的證法.例 用定義證明:()(山東大學(xué))證明:當(dāng)時,結(jié)論顯然成立.當(dāng)時,欲使成立,只須.于是,取,當(dāng)時,有即  

8、            ?。≡O(shè),用“”語言,證明:.證明:當(dāng)時,結(jié)論恒成立.當(dāng)時,,欲使只須.于是,取,當(dāng)時,有即              ?。?.迫斂性(夾

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