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1、高二數(shù)學通用版用向量法解立體幾何綜合練習（答題時間：60分鐘）1.如圖，在直三棱柱中，，，點是的中點。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求點到的距離；（Ⅲ）求二面角的大小。2.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CB＝1，CA＝，AA1＝，M為側棱CC1上一點，。（Ⅰ）求證：AM平面；（Ⅱ）求二面角B－AM－C的大小；（Ⅲ）求點C到平面ABM的距離。3.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是的中點，，且交于點。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）求證：平面⊥平面。4.如圖，四棱錐中，底面是邊長為2
2、的正方形，，且，為中點。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由。5.如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形。、分別是、的中點。若，。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求點到平面的距離；（Ⅲ）求直線與平面所成的角的大小。高二數(shù)學通用版用向量法解立體幾何綜合練習參考答案1.解法一：（Ⅰ）證明：連結，設與的交點為，連結。是的中點，是的中點，（Ⅱ）解：設點到的距離為。在三棱錐中，，且。易求得即點到的距離是（Ⅲ）解：在平面內作于點，過點作于點，連結易證明
3、，從而是在平面內的射影，根據三垂線定理得是二面角的平面角。易求得，在中，二面角的大小是解法二：在直三棱柱中，，，兩兩垂直。如圖，以為原點，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則（Ⅰ）證明：設與的交點為，則（Ⅱ）解：設點到的距離為在三棱錐中，，且。易求得即點到的距離是（Ⅲ）解：在平面內作于點，過點作于點，連結易證明，從而是在平面內的射影，根據三垂線定理得是二面角的平面角。易知二面角的大小是2.解法一：（I）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，易知面ACC1A1⊥面ABC，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥面ACC1A1，∵面A
4、CC1A1∴BC⊥AM∵，且∴AM平面（II）設AM與A1C的交點為O，連結BO，由（I）可知AMOB，且AMOC，所以∠BOC為二面角B－AM－C的平面角，在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠AA1C＝∠MAC∴Rt△ACM∽Rt△A1AC∴∴∴在Rt△ACM中，∵∴∴在Rt△BCO中，∴，故所求二面角的大小為45°（Ⅲ）設點C到平面ABM的距離為h，易知，可知∵∴∴∴點C到平面ABM的距離為解法二：（I）同解法一（II）如圖，以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建
5、立空間直角坐標系，則，設∵?！嗉?，故，所以設向量為平面AMB的法向量，則，則即，令x＝1，平面AMB的一個法向量為，顯然向量是平面AMC的一個法向量，易知，與所夾的角等于二面角B－AM－C的大小，故所求二面角的大小為45°。（Ⅲ）所求距離為：∴點C到平面ABM的距離為3.方法一：（Ⅰ）證明：連結交于，連結。是正方形，∴是的中點。是的中點，∴是的中位線。∴。又∵平面，平面，∴平面。（Ⅱ）解：取中點，則。作于，連結?！叩酌?，∴底面?！酁樵谄矫鎯鹊纳溆??！?，∴?！酁槎娼堑钠矫娼恰ＴO，在中，，∴?！喽娼堑拇笮椤＃↖II）證
6、明：由條件有∴平面，∴又∵是的中點，∴∴平面∴由已知∴平面又平面∴平面平面方法二：（Ⅰ）同方法一（II）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，由，故設，則。底面，∴是平面的法向量，。設平面的法向量為，，則即∴令，則?！?，∴二面角的大小為。（III），，又且。。又平面∴平面⊥平面。4.解法一：（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，∴，又，∴平面，∴。同理，∴平面。（Ⅱ）解：設為中點，連結，又為中點，可得，從而底面。過作的垂線，垂足為，連結。由三垂線定理有，∴為二面角的平面角。在中，可求得∴?！喽娼堑拇笮?。（Ⅲ）解：由為中點可
7、知，要使得點到平面的距離為，即要點到平面的距離為。過作的垂線，垂足為，∵平面，∴平面平面，∴平面，即為點到平面的距離。∴，∴。設，由與相似可得，∴，即?！嘣诰€段上存在點，且為中點，使得點到平面的距離為。解法二：（Ⅰ）證明：同解法一。（Ⅱ）解：建立如圖的空間直角坐標系，則。設為平面的一個法向量，則，。又令則得。又是平面的一個法向量，設二面角的大小為，則。∴二面角的大小為。（Ⅲ）解：設為平面的一個法向量，則，。又，令則得。又∴點到平面的距離，∴，解得，即?！嘣诰€段上存在點，使得點到平面的距離為，且為中點。5.解法一：（Ⅰ）取
8、的中點，連結，，又由為中點，則。又由已知有，∴?！嗨倪呅问瞧叫兴倪呅?。∴。又平面，平面，∴平面。（Ⅱ）∵平面，∴平面平面。由是矩形有。∴平面?！?。又，是的中點，∴。∵，∴平面。由，∴平面?！嗥矫嫫矫?。在平面內，過作于，由于平面平面，則的長就是點到平面的距離。由已知可得，，。由于平面，∴?！唷！帱c到平面的距離為。（Ⅲ）
