用向量法解立體幾何綜合練習(xí).doc

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1、高二數(shù)學(xué)通用版用向量法解立體幾何綜合練習(xí)（答題時(shí)間：60分鐘）1.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求點(diǎn)到的距離；（Ⅲ）求二面角的大小。2.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CB＝1，CA＝，AA1＝，M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn)，。（Ⅰ）求證：AM平面；（Ⅱ）求二面角B－AM－C的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面ABM的距離。3.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且交于點(diǎn)。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求證：平面⊥平面。4.如圖，四棱錐中，底面是邊長為2

2、的正方形，，且，為中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大?。唬á螅┰诰€段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由。5.如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形。、分別是、的中點(diǎn)。若，。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；（Ⅲ）求直線與平面所成的角的大小。高二數(shù)學(xué)通用版用向量法解立體幾何綜合練習(xí)參考答案1.解法一：（Ⅰ）證明：連結(jié)，設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)。是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)到的距離為。在三棱錐中，，且。易求得即點(diǎn)到的距離是（Ⅲ）解：在平面內(nèi)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)易證明

3、，從而是在平面內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理得是二面角的平面角。易求得，在中，二面角的大小是解法二：在直三棱柱中，，，兩兩垂直。如圖，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則（Ⅰ）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，則（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)到的距離為在三棱錐中，，且。易求得即點(diǎn)到的距離是（Ⅲ）解：在平面內(nèi)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)易證明，從而是在平面內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理得是二面角的平面角。易知二面角的大小是2.解法一：（I）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，易知面ACC1A1⊥面ABC，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥面ACC1A1，∵面A

4、CC1A1∴BC⊥AM∵，且∴AM平面（II）設(shè)AM與A1C的交點(diǎn)為O，連結(jié)BO，由（I）可知AMOB，且AMOC，所以∠BOC為二面角B－AM－C的平面角，在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠AA1C＝∠MAC∴Rt△ACM∽R(shí)t△A1AC∴∴∴在Rt△ACM中，∵∴∴在Rt△BCO中，∴，故所求二面角的大小為45°（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)C到平面ABM的距離為h，易知，可知∵∴∴∴點(diǎn)C到平面ABM的距離為解法二：（I）同解法一（II）如圖，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建

5、立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)∵?！嗉矗?，所以設(shè)向量為平面AMB的法向量，則，則即，令x＝1，平面AMB的一個(gè)法向量為，顯然向量是平面AMC的一個(gè)法向量，易知，與所夾的角等于二面角B－AM－C的大小，故所求二面角的大小為45°。（Ⅲ）所求距離為：∴點(diǎn)C到平面ABM的距離為3.方法一：（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié)。是正方形，∴是的中點(diǎn)。是的中點(diǎn)，∴是的中位線?！?。又∵平面，平面，∴平面。（Ⅱ）解：取中點(diǎn)，則。作于，連結(jié)。∵底面，∴底面?！酁樵谄矫鎯?nèi)的射影?！撸??！酁槎娼堑钠矫娼恰ＴO(shè)，在中，，∴。∴二面角的大小為。（III）證

6、明：由條件有∴平面，∴又∵是的中點(diǎn)，∴∴平面∴由已知∴平面又平面∴平面平面方法二：（Ⅰ）同方法一（II）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由，故設(shè)，則。底面，∴是平面的法向量，。設(shè)平面的法向量為，，則即∴令，則。∴，∴二面角的大小為。（III），，又且。。又平面∴平面⊥平面。4.解法一：（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，∴，又，∴平面，∴。同理，∴平面。（Ⅱ）解：設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，又為中點(diǎn)，可得，從而底面。過作的垂線，垂足為，連結(jié)。由三垂線定理有，∴為二面角的平面角。在中，可求得∴?！喽娼堑拇笮?。（Ⅲ）解：由為中點(diǎn)可

7、知，要使得點(diǎn)到平面的距離為，即要點(diǎn)到平面的距離為。過作的垂線，垂足為，∵平面，∴平面平面，∴平面，即為點(diǎn)到平面的距離?！?，∴。設(shè)，由與相似可得，∴，即?！嘣诰€段上存在點(diǎn)，且為中點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為。解法二：（Ⅰ）證明：同解法一。（Ⅱ）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則。設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，。又令則得。又是平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，則?！喽娼堑拇笮?。（Ⅲ）解：設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，。又，令則得。又∴點(diǎn)到平面的距離，∴，解得，即。∴在線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，且為中點(diǎn)。5.解法一：（Ⅰ）取

8、的中點(diǎn)，連結(jié)，，又由為中點(diǎn)，則。又由已知有，∴?！嗨倪呅问瞧叫兴倪呅??！唷Ｓ制矫?，平面，∴平面。（Ⅱ）∵平面，∴平面平面。由是矩形有?！嗥矫?。∴。又，是的中點(diǎn)，∴?！?，∴平面。由，∴平面?！嗥矫嫫矫?。在平面內(nèi)，過作于，由于平面平面，則的長就是點(diǎn)到平面的距離。由已知可得，，。由于平面，∴?！唷！帱c(diǎn)到平面的距離為。（Ⅲ）