數(shù)字圖像處理 ppt課件.ppt

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1、第三章圖像變換3.1二維離散傅立葉變換（DFT）3.2二維離散余弦變換（DCT)3.5二維離散小波變換（DWT）3.3二維沃爾什-哈達(dá)瑪變換（DW-HT）3.4卡胡南-列夫變換（K-LT)概述圖像變換是將圖像從空間域（2D）變換到另一個(gè)域（頻域）。變換的目的：在空域很難處理的性質(zhì)，可以在變換域處理，然后進(jìn)行反變換，回到空域。變換的方法是線性正交變換，也稱酉變換。常用的有：二維離散傅立葉變換，離散余弦變換，沃爾什－哈達(dá)瑪變換，小波變換。3.1離散傅立葉變換圖3-1任意波形可分解為正弦波的加權(quán)和傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用：圖像特征提??；空間頻率與

2、濾波；圖像恢復(fù)；紋理分析。圖3-2正弦波的振幅A和相位φ?qǐng)D3-3圖3-1（a）波形的頻域表示(a)幅頻特性；(b)相頻特性時(shí)域和頻域之間的變換可用數(shù)學(xué)公式表示如下：為能同時(shí)表示信號(hào)的振幅和相位，通常采用復(fù)數(shù)表示法，因此式（3-1）可用復(fù)數(shù)表示為完成這種變換，一般采用的方法是線性正交變換。(3-1)(3-2)一、連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換若把一個(gè)一維輸入信號(hào)作一維傅立葉變換，該信號(hào)就被變換到頻域上的一個(gè)信號(hào)，即得到了構(gòu)成該輸入信號(hào)的頻譜，頻譜反映了該輸入信號(hào)由哪些頻率構(gòu)成。這是一種分析與處理一維信號(hào)的重要手段。當(dāng)一個(gè)一維信號(hào)f(x)滿足狄里赫萊條

3、件，即f(x)（1）具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；（2）具有有限個(gè)極值點(diǎn)；（3）絕對(duì)可積。則其傅立葉變換對(duì)（傅立葉變換和逆變換）一定存在。在實(shí)際應(yīng)用中，這些條件一般總是可以滿足的。一維傅立葉變換對(duì)的定義為(3-3)(3-4)式中：，x稱為時(shí)域變量，u稱為頻域變量。以上一維傅立葉變換可以很容易地推廣到二維，如果二維函數(shù)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則它的二維傅立葉變換對(duì)為(3-5)(3-6)式中：x,y為時(shí)域變量；u,v為頻域變量。二、離散傅立葉變換要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，還需要解決兩個(gè)問題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（

4、模擬）信號(hào)，而計(jì)算機(jī)處理的是數(shù)字信號(hào)（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。設(shè){f(x)

5、f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號(hào)f(x)的N個(gè)抽樣，其離散傅立葉變換對(duì)為（3-7)(3-8)式中：x，u=0，1，2，…,N－1。注：式（3-8）中的系數(shù)1/N也可以放在式（3-7）中，有時(shí)也可在傅立葉正變換和逆變換前分別乘以，這是無關(guān)緊要的，只要正變換和逆變換前系數(shù)乘積等于1/N即可。由歐

6、拉公式可知(3-9)將式（3-9）代入式（3-7），并利用cos(－θ)=cos(θ)，可得(3-10)可見，離散序列的傅立葉變換仍是一個(gè)離散的序列，每一個(gè)u對(duì)應(yīng)的傅立葉變換結(jié)果是所有輸入序列f(x)的加權(quán)和（每一個(gè)f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值），u決定了每個(gè)傅立葉變換結(jié)果的頻率。通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式，即(3-11)式中，R(u)和I(u)分別是F(u)的實(shí)部和虛部。式(3-11)也可表示成指數(shù)形式：F(u)=

7、F(u)

8、ejφ(u)(7-12)其中(3-13)(3-14)通常稱

9、F(u)

10、為f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜，φ(u)為

11、f(x)的相位譜。頻譜的平方稱為能量譜或功率譜，它表示為(3-15)考慮到兩個(gè)變量，就很容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維。二維離散傅立葉變換對(duì)定義為(3-16)(3-17)式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；x,y為時(shí)域變量，u,v為頻域變量。像一維離散傅立葉變換一樣，系數(shù)1/MN可以在正變換或逆變換中，也可以在正變換和逆變換前分別乘以系數(shù)，只要兩式系數(shù)的乘積等于1／MN即可。二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、相位譜和能量譜分別為(3-18)(3-19)(3-20)式中，R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,

12、v)的實(shí)部和虛部。例題：求一維離散序列的傅立葉變換f(1，2，3，4)序列長(zhǎng)度N＝4利用公式：例如：求二維離散傅立葉變換其傅立葉變換FA為：解：利用公式：其中：M=N=3,x=0,1,2;y=0,1,2;u=0,1,2v=0,1,2同樣算法，可求得FA為：F的幅值和相位分別為能量譜為：三、離散傅立葉變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)：2、比例性質(zhì)：3、可分離性：二維傅立葉變換可以分解成兩步進(jìn)行，每一步都是一個(gè)一維傅立葉變換，先對(duì)f(x,y)按行進(jìn)行傅立葉變換得到F(x,v)，再對(duì)F(x,v）按列進(jìn)行傅立葉變換，得到F(u,v)。4、空間位移5、平移性質(zhì)頻率

13、位移圖像中心化只要將f(x,y)乘以(-1)x+y,再進(jìn)行DFT，即可將圖像頻譜原點(diǎn)移動(dòng)到圖像中心（M/2,N/2)原圖像無平移的傅立葉頻譜平移后的傅