有限元法基礎(chǔ)-2理論基礎(chǔ)ppt課件.ppt

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1、第二章有限元法的理論基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式2.2等效積分的“弱”形式2.3加權(quán)余量法2.4變分原理2.5Ritz法2.6彈性力學(xué)的變分原理2.1微分方程的等效積分形式已知算子方程方程的解在域W中的每一點(diǎn)都滿足算子方程和邊界條件有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式算子設(shè)X和Y是同一數(shù)域P上的兩個(gè)賦范線性空間，D是X的一個(gè)子集，若存在某種對(duì)應(yīng)法則T，使對(duì)任意,有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，則T稱為X中D到Y(jié)的算子，或映射。D稱為T的定義域，y或T(x)稱為象，象的集合稱為T的值域。算子方程設(shè)算子T的定義域?yàn)镈，，值域?yàn)門(D),,等式稱為算子方程。有限元法基礎(chǔ)2.1微分

2、方程的等效積分形式將算子方程及邊界條件在各自的定義域中積分，有有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式進(jìn)一步改寫為可以證明在積分方程對(duì)任意的v都成立的話，則積分項(xiàng)在域內(nèi)每一點(diǎn)都滿足算子方程和邊界條件。稱為算子方程的等效形式特點(diǎn)和是單值函數(shù)并且在定義域上可積u的選擇取決于算子A和B有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程等效積分方程有限元法基礎(chǔ)2.2等效積分的“弱”形式對(duì)積分方程分部積分得到另一種形式C、D、E、F是微分算子，它們的導(dǎo)數(shù)階數(shù)都比A低。積分方程特點(diǎn)對(duì)u的連續(xù)性要求降低了；對(duì)和的要求提高了。這種通過適當(dāng)提高對(duì)任意函數(shù)的連續(xù)性要求，以降低對(duì)微

3、分方程場(chǎng)函數(shù)的連續(xù)性要求所建立的積分形式－－稱為微分方程的等效積分“弱”形式有限元法基礎(chǔ)2.2等效積分的“弱”形式例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)假設(shè)實(shí)現(xiàn)滿足邊界條件，等效積分形式成為分部積分有限元法基礎(chǔ)2.2等效積分的“弱”形式得到令有限元法基礎(chǔ)2.3加權(quán)余量法由于實(shí)際問題的復(fù)雜性精確解難于找到，往往求近似解假設(shè)未知場(chǎng)函數(shù)u可用近似解表示為待定參數(shù)，為已知的試函數(shù)。代入算子方程有和是方程的殘余量。取n個(gè)獨(dú)立的函數(shù)作為v,得到n個(gè)方程，即有限元法基礎(chǔ)2.3加權(quán)余量法基于等效積分“弱”形式的近似方法定義：采用使余量的加權(quán)積分為零來求解微分方程近似解的方法成為加權(quán)余量法（WeightedR

4、esidualMethod）根據(jù)權(quán)函數(shù)的選取方法，可得到各種形式的加權(quán)余量的求解方法，最常見的是伽遼金（Galerkin）法伽遼金法的特點(diǎn)是權(quán)函數(shù)與試函數(shù)取相同的函數(shù)形式有限元法基礎(chǔ)2.3加權(quán)余量法取，在邊界上可得積分形式的余量方程組注意到，可將上式改寫為積分“弱”形式的方程組有限元法基礎(chǔ)2.4變分原理線性自伴隨算子算子方程在內(nèi)，若算子有如下性質(zhì)，和為任意常數(shù)則A為線性算子。定義內(nèi)積對(duì)上式進(jìn)行分部積分直至u的導(dǎo)數(shù)消失，即稱為A的伴隨算子，若稱算子為自伴隨算子。有限元法基礎(chǔ)2.4變分原理例：證明是自伴隨算子。構(gòu)造內(nèi)積，并分部積分由上式可見A＝A*.有限元法基礎(chǔ)2.4變分原理

5、微分方程為利用線性自伴隨算子的性質(zhì)伽遼金法的積分方程為有限元法基礎(chǔ)2.4變分原理綜合上面的式子，有其中上式稱為原問題的變分原理特點(diǎn)泛函中u的最高階次為二次，故成為二次泛函；如果函數(shù)u及其變分滿足一定的條件，能夠得到全變分形式，從而得到泛函的變分。有限元法基礎(chǔ)2.4變分原理例：二維熱傳導(dǎo)問題伽遼金法的積分方程為經(jīng)分部積分，并注意到在ST上，有由此導(dǎo)出有限元法基礎(chǔ)2.5Ritz法對(duì)于線性自伴隨算子，存在等效的變分原理，有近似解法－－Ritz法設(shè)近似解為Ni為取自完全系列的已知函數(shù)，ai為待定參數(shù)。代入泛函中，得到由待定參數(shù)表示的泛函，關(guān)于泛函變分，有由變分的任意性的方程組有限

6、元法基礎(chǔ)2.5Ritz法對(duì)于二次泛函得到的是線性方程組可以證明K是對(duì)稱矩陣關(guān)于Ritz法的收斂性當(dāng)試函數(shù)Ni(i=1,…,n)取自完備函數(shù)系列，且滿足算子方程要求的連續(xù)性，當(dāng)泛函單調(diào)收斂于，泛函具有極值。有限元法基礎(chǔ)2.5Ritz法Ritz法應(yīng)用中的難點(diǎn)求解域比較復(fù)雜時(shí)，選取滿足邊界的試函數(shù)往往產(chǎn)生難以克服的困難；為了提高計(jì)算精度，需增加待定參數(shù)，這增加了求解的復(fù)雜性；有限元法同樣建立在變分原理的基礎(chǔ)上的，可以有效地避免上述困難有限元法基礎(chǔ)2.6彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)中的變分原理包括虛功原理、余虛功原理、最小勢(shì)能原理、最小余能原理、Hellinger-Reissner

7、（兩場(chǎng)廣義變分原理）、廣義變分原理（胡-鷲原理）等。在一定條件下它們之間是可以相互等價(jià)的，如在真實(shí)解的情況下，最小勢(shì)能原理＋最小余能原理＝0；在滿足勒讓德變換的條件下，廣義變分原理與Hellinger-Reissner等價(jià)；在材料有勢(shì)，外力有勢(shì)時(shí)虛功原理與最小勢(shì)能原理等價(jià)等等。有限元法基礎(chǔ)2.6彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的基本假設(shè)1）連續(xù)性假設(shè)物體抽象成連續(xù)密實(shí)的空間幾何體，位移、應(yīng)變、應(yīng)力、能量等物理量作為空間點(diǎn)位置的函數(shù)定義在這個(gè)幾何體上。物體在整個(gè)變形過程中始終保持連續(xù)。2）彈性假設(shè)彈性體的變形與載荷在整個(gè)加載和卸載過程