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1、笛卡爾之夢與中國數(shù)學(xué)笛卡爾RenéDescartes1596-16501596年3月31日生于法國的圖倫1619年11月10日Ausonius:Quodvitaesectaboriter在我的一生中，我該走哪條路？1650年2月11日在斯德哥爾摩去世科學(xué)中正確運(yùn)用理性和追求真理的方法論1637年6月8日《折光學(xué)》《氣象學(xué)》《幾何學(xué)》尋求知識(shí)的途徑尋求知識(shí)的途徑僅接納自己理解并可以排除疑問的東西把大的困難拆分成小的困難從簡單到復(fù)雜的推理進(jìn)行檢驗(yàn)笛卡爾之夢現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)問題（幾何問題）代數(shù)問題（解析幾何）多項(xiàng)式方程組一元高次方程笛卡爾的夢想：將
2、世界數(shù)學(xué)化人類的所有問題，都可以通過邏輯計(jì)算，理性地、系統(tǒng)地加以解決。數(shù)學(xué)真理=數(shù)學(xué)定理萊布尼茲（德國）GottfriedLeibniz(1646-1716)笛卡爾計(jì)劃的一個(gè)具體的實(shí)現(xiàn)方案:將思維演算化、計(jì)算化，以至于可以計(jì)算機(jī)化。解析幾何如同一臺(tái)龐大的絞肉機(jī)，你把問題塞進(jìn)去，只要搖動(dòng)曲柄，就可以得到答案。沙勒(法國）MichelChasles1793~1880為幾何大廈添磚加瓦，從此就用不著天才那樣的人物了?！稁缀畏椒ǖ钠鹪春桶l(fā)展的歷史概述》1900年前后，邏輯悖論的出現(xiàn)羅素：日常語言和邏輯中可以出現(xiàn)悖論理發(fā)師悖論村中的理發(fā)師只給本村那
3、些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。誰給理發(fā)師理發(fā)？龐伽萊（法國）HenriPoincaré（1854-1912）為了防備狼，羊群已用籬笆圈了起來，但卻不知道圈里有沒有狼。數(shù)學(xué)的完備性completeness一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)是完備的，那么這個(gè)系統(tǒng)中的所有命題都是可以被證明的，每一個(gè)數(shù)學(xué)真理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)學(xué)定理。1930年之前:兩個(gè)基本問題I每一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問題都應(yīng)該關(guān)聯(lián)一個(gè)明確的判斷，或者是給出答案，或者是證明它不可解。數(shù)學(xué)的一致性consistency1930年之前：兩個(gè)基本問題II一致性（相容性、無矛盾、協(xié)調(diào)性）如果說一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)是一致的，不可能得出
4、0≠0的結(jié)果。不能出現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)中的一個(gè)命題與它的否定命題都是對(duì)的，即不能出現(xiàn)悖論。如果一個(gè)系統(tǒng)是不一致的，則可以按照我們的喜好來證明一個(gè)論斷是真的，或者假的，那樣的話，我們的知識(shí)就不會(huì)建立在一個(gè)可靠的基礎(chǔ)之上了。羅素:我是教皇如果我們承認(rèn)2+2=5，則有2=3或者2=1因?yàn)榻袒屎土_素是兩個(gè)人，且2=1于是1=2所以，羅素就是教皇。夢想與悖論夢想的破滅希爾伯特綱領(lǐng)1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)希爾伯特23問題第二個(gè)問題“算術(shù)公理的一致性”數(shù)學(xué)推理的可靠性：只要按照數(shù)學(xué)推理的規(guī)則，就不應(yīng)該得出相互矛盾的陳述。希爾伯特：一致性是任何類型的公理化系
5、統(tǒng)的必要條件為什么希爾伯特要操心這樣的事情呢？2+2=5真的可以發(fā)生嗎？三角形的內(nèi)角和≠180o嗎？幾何原本1482年威尼斯羅巴切夫斯基（俄國）NikolaiLobachevski（1792-1856）波約（匈牙利）JanosBolyai（1802-1860）存在著完全一致的、關(guān)于點(diǎn)和線的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，他們不同于歐幾里得的系統(tǒng)。三角形的內(nèi)角和可以大于180o橢圓幾何三角形的內(nèi)角和可以小于180o雙曲幾何三種幾何平面雙曲(馬鞍）橢圓（球）1條平行線許多平行線沒有平行線=180o<180o>180o平面宇宙開放宇宙封閉宇宙冷寂冷寂大擠壓歐幾里得羅
6、巴切夫斯基黎曼希爾伯特DavidHilbert1862年1月23日生于哥尼斯堡1943年2月14日死于哥廷根希爾伯特綱領(lǐng)建立的動(dòng)機(jī)羅素悖論產(chǎn)生的原因：自然陳述中語義的含糊性鏟除悖論：為全部數(shù)學(xué)構(gòu)建一種純句法的、實(shí)質(zhì)上“無意義”的框架，在其中可以談?wù)摂?shù)學(xué)的真或假。將每一個(gè)數(shù)學(xué)真理都形式化，從而永遠(yuǎn)排除在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論陳述的可能性。也不會(huì)產(chǎn)生不可判定的命題。形式系統(tǒng)：形式化了的公理系統(tǒng)。系統(tǒng)中的符號(hào)與符號(hào)串（公式）完全不含意義。形式系統(tǒng)公式：按照一定的形式規(guī)則排列的符號(hào)串公理：一個(gè)公式推理規(guī)則：由有限個(gè)確定的公式（規(guī)則的假設(shè)）得到某一個(gè)確定的
7、公式（規(guī)則的結(jié)論）定理：公理；若規(guī)則的假設(shè)是定理，其結(jié)論也是形式系統(tǒng)的公式是否定理，可以機(jī)械地驗(yàn)證希爾伯特綱領(lǐng)第一步，建立形式系統(tǒng)第二步，考慮數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)將數(shù)學(xué)對(duì)象與形式系統(tǒng)中的符號(hào)、公式相匹配，用不含意義的形式語言來解釋含有意義的數(shù)學(xué)對(duì)象。不使用那些有爭議的推論1920年～1930年希爾伯特、阿克曼、伯奈斯、馮諾伊曼元數(shù)學(xué)（或稱證明論）用矛盾去證明存在超限歸納實(shí)無窮集非斷言性的定義選擇公理存在性的證明也必須是構(gòu)造性的元數(shù)學(xué)證明的概念與方法是有限性的希爾伯特（1928年）：利用這種新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—人們完全可以稱之為證明理論，我將可以解決世界上所
8、有的基礎(chǔ)問題。所有有意義的論述都將被證明或證偽，那樣就不存在懸而未決的命題了。希爾伯特的夢想構(gòu)造一個(gè)形式系統(tǒng)，它既是完備的，又是一致的。在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的真理與形式系統(tǒng)的定理之間建立一種完美的一一對(duì)
