強(qiáng)化以形助數(shù)的意識(shí),優(yōu)化解題過(guò)程.docx

《強(qiáng)化以形助數(shù)的意識(shí),優(yōu)化解題過(guò)程.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、強(qiáng)化以形助數(shù)優(yōu)化解題過(guò)程（甘肅永昌永昌縣第四中學(xué)737200張永仁）華羅庚曾言“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休”?！皵?shù)形結(jié)合數(shù)是基礎(chǔ)，是關(guān)鍵，既要以形助數(shù)，又要以數(shù)定形”。當(dāng)看到試題時(shí)，首先想到的是畫(huà)比較準(zhǔn)確的涉及試題的函數(shù)圖像，通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系和相應(yīng)的圖形的聯(lián)想，整體觀察、直觀分析，可找到比較明確的路徑，從而得到比較好的解題方法。靈活運(yùn)用一些數(shù)學(xué)公式的幾何意義，和基本函數(shù)的圖像，以數(shù)形結(jié)合的思想方法去研究，往往會(huì)取得事半功倍的效果。一、活用點(diǎn)到直線的距離公式例1：(4cos62t)2(3sin2t)2,(,t為參數(shù)）的最小值

2、是________。22解析：上式是點(diǎn)(4cos,3sin)與點(diǎn)(62t,2t)距離的平方，而點(diǎn)22(62t,2t)在直線xy60上。22(4cos,3sin)到直線xy60距離的最小值。所以問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求點(diǎn)

3、4cos3sin6

4、

5、5sin()6

6、2因?yàn)閐22，12所以d22(4cos,3sin)評(píng)注：表面上看是三角函數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)分析式子的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)上式是點(diǎn)與點(diǎn)(62t,2t)距離的平方，而點(diǎn)(62t,2t)在直線xy60上。從而轉(zhuǎn)化2222成點(diǎn)到直線的距離。二、活用直線斜率公式例2：求函數(shù)ysinx的最大值和最小值。cos

7、x2y解析：函數(shù)ysinx的幾何意義為兩點(diǎn)2cosxQP(2,0)、Q(cosx,sinx)連線的斜率k,而點(diǎn)Ｑ的軌跡為單位圓。由圖１知Ox33,即33Pky3333所以ymax3,ymin3圖133P(2,0)、Q(cosx,sinx)分別評(píng)注：本例將三角函數(shù)的最值理解為兩點(diǎn)決定的斜率，是定點(diǎn)和單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，使問(wèn)題迎刃而解。三、活用直線的截距例3：求函數(shù)y2t46t的最值.解析：令m2t4,n6t，則m22n216(0m4,0n22)新給的函數(shù)可化為ymn,y的幾何意義是y軸上的截距，故可設(shè)：1nm4cos(0)n22s

8、in2y26sin()tan2O4結(jié)合圖像可知:ymin22,ymax26評(píng)注：通過(guò)換元轉(zhuǎn)化成橢圓和直線有公共點(diǎn)時(shí)，直線的截距問(wèn)題。四、活用兩點(diǎn)間距離公式例4：求函數(shù)2252413的最小值yyxxxx解：用配方法把函數(shù)式寫(xiě)為：Ｂy(x1)2(02)2(x2)2(03)2Ａ問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點(diǎn)P(x,0),使P分別到點(diǎn)A(1,2)與B(2,3)的距離之和最小，取點(diǎn)A(1,2)P(x,0)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A/(1,2)，則:ymin

9、A/B

10、(12)2(23)226A1評(píng)注：根據(jù)函數(shù)式聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式,把問(wèn)題化歸為幾何的

11、最值,簡(jiǎn)捷明了。五、活用二次及三次函數(shù)的圖像例4：已知f(x)ax3bx2cx在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間(∞，0)，(1，∞)上是減函數(shù)，又f13．22（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）若在區(qū)間[0，m](m0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范圍．解：（Ⅰ）f(x)3ax22bxc，由已知f(0)f(1)0，，c0，c0解得即2bcb3a．3a0，2f(x)3ax23ax，f13a3a3，a2，f(x)2x33x2．2422（Ⅱ）令f(x)≤x，即2x33x2x≤0，x(2x1)(x1)≥0，0≤x≤1或x≥1．2

12、m≤1又f(x)≤x在區(qū)間0，m上恒成立，0．2評(píng)注：根據(jù)題意作出三次函數(shù)的圖象，找出三次函數(shù)的極值點(diǎn)，通過(guò)求導(dǎo)，在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，從而求出第一問(wèn)。第二問(wèn)通過(guò)穿針引線很容易得到解。六、活用圓錐曲線的圖像例6：雙曲線C1:x2y21與動(dòng)圓C:(xa)2y2a2有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：結(jié)合圖形，因圓x2y22ax0恒過(guò)原點(diǎn)，可知，當(dāng)圓的直徑2

13、a

14、不小于雙曲線的中心到頂點(diǎn)的距離時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)，即：2

15、a

16、1解得：a1,或a122mx2評(píng)注：若采用方程組有解的條件去解較繁且易出錯(cuò)，利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決，這樣

17、縮短了思維過(guò)程，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。七、活用對(duì)勾函數(shù)的圖像例7：已知f(x)在(0,)上是增函數(shù)，而且f(x)0,f(3)1，判斷函數(shù)g(x)1在區(qū)間(0,3]上的單調(diào)性。f(x)f(x)解：設(shè)uf(x)，則yg(x)1，依題意u0，由對(duì)勾函數(shù)的圖象得：uu在u(0,1]時(shí)，y是u的減函數(shù)，在u[1,)時(shí)，y是u的增函數(shù)，又因?yàn)閡f(x)在(0,)上是增函數(shù)，且f(x)0,f(3)1所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：當(dāng)x(0,3]時(shí)，u(0,1]，y是x的減函數(shù)。評(píng)注：利用了對(duì)勾函數(shù)的圖象的性質(zhì)，這樣避免了繁瑣的單

18、調(diào)性的證明，加強(qiáng)了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，便于理解和掌握。以形助數(shù)，是用數(shù)形結(jié)合思想解決代數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要的方面。對(duì)于一個(gè)代數(shù)問(wèn)題考慮它結(jié)構(gòu)和形式，通過(guò)聯(lián)想、觀察、分析準(zhǔn)確畫(huà)出相對(duì)應(yīng)的圖形，建立起數(shù)形對(duì)應(yīng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化，就會(huì)將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明朗化，抽象問(wèn)題形象化、具體化，充分優(yōu)化解題過(guò)程。3