有限元第4章剛度矩陣方程的處理.ppt

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1、第四章剛度矩陣方程的處理如果剛架系統(tǒng)中桿件數(shù)目較多，節(jié)點(diǎn)數(shù)目就較多，剛度矩陣的階次就高，對于有n根桿件的桁架來說，剛度矩陣的階次就是剛度矩陣元素全部存入計算機(jī)中。對計算機(jī)來說是一個很大的負(fù)擔(dān)，而且可能存不下。例如，1000個節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)，就必須有剛度矩陣性質(zhì)總結(jié)起來剛度矩陣有以下一些性質(zhì)：(1)整體剛度矩陣是對稱矩陣。已知單元剛度矩陣為對稱矩陣，由它按對稱方式集成的整體剛度矩陣必然也是對稱的。(2)整體剛度矩陣中每個元素的物理意義為，在節(jié)點(diǎn)j發(fā)生單位位移而其他節(jié)點(diǎn)位移為零時，在節(jié)點(diǎn)i處產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力。(3)整體剛度矩陣的主對角線上的元素總是正的.(4)整體剛度矩陣是一個奇異陣

2、，不存在逆矩陣，只有加上邊界條件后，才能求解剛度矩陣方程。(5)整體剛度矩陣是一個稀疏矩陣。因為離散化的結(jié)構(gòu)的任一節(jié)點(diǎn)只與繞它的相連單元發(fā)生聯(lián)系，所以整體剛度矩陣的每一行中含有大量的零元素，而非零的元素往往分布在主對角線附近，并成帶狀分布。①③②如圖4-1所示。最后的總體剛陣就成為以主對角線為中心的“帶狀”區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有非零元素，而在這一帶狀區(qū)域外則全為零。如果i，j的差較小，則這一帶狀區(qū)域就較“窄”，反之則較寬。這樣的矩陣稱為帶狀分布的稀疏矩陣。首先，由稀疏性，我們知道矩陣中有大量零元素，可以不存入計算機(jī)中。其次，利用非零元素沿主對角線帶狀分布的性質(zhì)可以只存儲帶狀區(qū)域內(nèi)

3、的元素。一種壓縮存儲量的辦法是找出所有各行中非零元素所占最寬的一行，以離對角線最遠(yuǎn)的元素為基準(zhǔn)畫出一條平行于主對角線的帶子，稱為剛度矩陣的帶寬。存儲時，只存儲帶內(nèi)元素，而且利用剛度矩陣的對稱性，只存一半，即只存主對角線以下(以上)到帶子邊線內(nèi)的元素。顯然，這樣可以大大減少存儲量。許多通用的有限元程序就是采用這種存儲剛度矩陣的方法。這種存儲方法稱為等帶寬存儲。減少最大半帶寬可以減小等帶寬存儲的剛度矩陣存儲量。而半帶寬與單元節(jié)點(diǎn)號的編號差有關(guān)。因此，當(dāng)我們對一個要求解的系統(tǒng)編號時，就應(yīng)有所講究，也就是使每個單元的節(jié)點(diǎn)編號差盡可能小。一般來說，當(dāng)一個結(jié)構(gòu)較長時，應(yīng)先順其較窄的方

4、向編號，然后向較長的方向移動。下面的例子可以說明不同編號方法對剛度矩陣存儲量的影響。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨一般來講，剛度矩陣的最大半帶寬=節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)×(單元中節(jié)點(diǎn)最大編號差+1)。單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)最大編號差決定著剛度矩陣的帶寬，而影響剛度矩陣的存儲量，這對于節(jié)點(diǎn)數(shù)較多的單元形式尤為重要。為進(jìn)一步減小剛度矩陣存儲量以節(jié)省計算機(jī)資源，除了等帶寬存儲剛度矩陣元素的方法外，還有一種更為經(jīng)濟(jì)的存儲方式，稱為變帶寬存儲。如圖4-3所示，剛度矩陣中每一行所具有的非零元素數(shù)目不等，存儲時可不必按最大帶寬將帶內(nèi)元素全部存儲。因為解方程組時只用到每行第一個非零元素及其以后的諸元素，因此只要將圖4-

5、3中折線到對角線間的元素存在計算機(jī)中即可。這樣一來又可以少存許多零元素。再采用一維數(shù)組存儲，又可以進(jìn)一步減小存儲量。這稱為一維變帶寬壓縮存儲。從數(shù)學(xué)上看，未經(jīng)處理的總綱是對稱、半正定的奇異矩陣，它的行列式值為零，不能立即求逆。為了使問題可解，必須對結(jié)構(gòu)加以足夠的位移約束，也就是應(yīng)用位移邊界條件。首先要通過施加適當(dāng)?shù)募s束，消除結(jié)構(gòu)的剛體位移，再根據(jù)問題要求設(shè)定其他已知位移。所以，處理位移邊界條件在有限元分析步驟中十分重要。1.降階法(刪行刪列法)若結(jié)構(gòu)的某些節(jié)點(diǎn)位移值為零時(即與剛性支座連接點(diǎn)的位移)，則可將總體剛度矩陣中相應(yīng)的行列、刪行刪列劃掉，然后將矩陣壓縮即可求解。這

6、種方法的優(yōu)點(diǎn)時道理簡單。如果刪去的行列很多，則總體剛度矩陣的階數(shù)可大大縮小。通常用人工計算時常采用該方法。若用計算機(jī)算題，在程序編制上必帶來麻煩，因為剛度矩陣壓縮以后，剛度矩陣中各元素的下標(biāo)必全改變。因而一般計算機(jī)算題不太采用。2.主對角元素置“1”法這是邊界位移為零的處理方法。將總剛度矩陣中零位移分量所對應(yīng)行和列的主對角元素置為1，而其它元素皆變?yōu)?。在節(jié)點(diǎn)載荷列陣中，將零位移分量所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)載荷也變?yōu)?。3.邊界位移為已知值的處理方法如果節(jié)點(diǎn)位移是大于零的已知數(shù)值，則將該位移分量所對應(yīng)的主對角元素置為大數(shù)，再將節(jié)點(diǎn)載荷列陣中對應(yīng)的分量置為大數(shù)乘以已知的節(jié)點(diǎn)位移，而其余

7、各行保持不變。應(yīng)用有限元法，最終都是歸結(jié)為解總體剛度矩陣平衡方程，它實(shí)際上是以總體剛度矩陣為系數(shù)矩陣的大型線性代數(shù)方程組。通過對結(jié)構(gòu)施加位移邊界條件，消除了結(jié)構(gòu)的剛體位移，從而消除總體剛度矩陣的奇異性，解這個線性代數(shù)代數(shù)方程組可求出節(jié)點(diǎn)位移?？倓偠绕胶夥匠痰那蠼庵苯咏夥ǜ咚瓜シā⑷欠纸夥ǖ夥ǜ咚?賽德爾迭代、超松弛迭代(1)高斯消去法基本思想使逐行逐次消去一個未知數(shù)，最后將原方程變成一個等價的三角形方程，再經(jīng)過逐個回代，解出全部的未知數(shù)。由于剛陣都是正定矩陣，即矩陣各主子陣有代回到式中第2至第n個方程第二次消元是對降一