《現(xiàn)代精算風(fēng)險理論》課件匯總個體風(fēng)險模型

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1、第2章個體風(fēng)險模型本章討論保險人風(fēng)險組合的總索賠額的分布函數(shù)。6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com總索賠（隨機(jī)變量的和）的分布要用卷積，因此非常麻煩。常用到均值，方差，矩母函數(shù)，特征函數(shù)，母函數(shù)等。有別于中心極限定理的近似方法。風(fēng)險隨機(jī)變量往往不能用純離散和連續(xù)隨機(jī)變量來刻畫。因此常用Riemann-Stieltjes積分。2.1引言6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com2.2混合分布和風(fēng)險本節(jié)我們討論保險風(fēng)險的一些實例.由于純離散隨機(jī)變量和純連續(xù)

2、隨機(jī)變量都不能描述這種風(fēng)險，所以我們必須先拓展分布函數(shù)類．6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com根據(jù)概率論的知識，任何一個分布函數(shù)都滿足6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com離散型的隨機(jī)變量6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com連續(xù)型的隨機(jī)變量6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com在概率論中所學(xué)到的所有的隨機(jī)變量要么為離散型要么為連續(xù)型，幾乎無一例外．然而保險領(lǐng)域卻不總是這樣．許多被用來模擬保險理賠

3、支付的分布函數(shù)有連續(xù)增長的部分，同時也有離散的、正的跳躍部分．6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com設(shè)Z代表某個保單的理賠支付，則有三種情況：保單合同無理賠，因此Z=0.保單合同的索賠數(shù)額大于最大的保險金額M，則Z=M.保單合同產(chǎn)生正常的索賠數(shù)額，則0

4、00jss.com6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.comRiemann-Stieltjes積分混合隨機(jī)變量的分布對于混合隨機(jī)變量其分布為：6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com6/14/2021中華

5、精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com因此假設(shè)理賠支付X=400和X=200的概率分別為0.05和0.15，則有6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com例2.2.4（有索賠，且索賠額服從指數(shù)分布）假設(shè)風(fēng)險X有如下分布：（1）X的均值是多少？（2）對于風(fēng)險厭惡系數(shù)為a=0.01且具有指數(shù)效用函數(shù)的人，愿意為風(fēng)險X支付的最大保費(fèi)為多少？6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com（1）6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com（2）如果

6、被保險人使用的是參數(shù)為a=0.01的指數(shù)效用函數(shù)，則由（1.21）得到最大保費(fèi)：6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com同樣的，X可以表示成X=IB，其中I表示理賠支付次數(shù)(0或l),B代表理賠支付．因此，6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com為求X的分布函數(shù)F，我們有由此得6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000j

7、ss.com6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com利用如下眾所周知的方差分解準(zhǔn)則，形如IB的風(fēng)險方差可以通過給定I,B的條件分布來計算：6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com2.3卷積在個體風(fēng)險模型中，我們感興趣的是多個保單總理賠S的分布：6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com首先來計算X+Y的分布

8、函數(shù)：連續(xù)形式的全概率公式6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com其中求和是取遍所有使得的x。6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com如果X和Y是連續(xù)型的，則6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000jss.com為求X+Y+Z的分布函數(shù)，我們在做卷積運(yùn)算時所采用的卷積次序無關(guān)緊要n個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的分布函數(shù)是共同邊際分布F的n重卷積，記為6/14/2021中華精算師考試網(wǎng)www.1000