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1、第六章短期聚合風險模型6.1引言?1、定義：短期聚合風險模型對于?=??，其中?表示保險期內所有承保保單發(fā)?=??生索賠的次數隨機變量，?表示第?次發(fā)生理賠時的理?賠額隨機變量，?為保險期內的理賠總額隨機變量。??對不同的?是獨立同分布(?.?.?)independentandidenticallydistributed的，?與各??是獨立的。稱此模型為短期聚合風險模型?用?表示某類保單在單位時間內發(fā)生理賠的次數，??表示該類保單在此期間第?次理賠的金額，則該類保單在此期間的理賠總量?可表示為：??>???+??+?+??=?=?????=(6.1.1)??
2、=?稱之為短期聚合風險模型?其中：1、?取值于非負整數，而且??=?>?,它是與保單組合的理賠發(fā)生頻率有關的隨機變量，一般稱之為理賠數變量。2、??是取值于整數(連續(xù)或離散)的用于測量每次獨立理賠量額度大小的隨機變量，而且有???=?=?，一般稱之為理賠額變量。?假設：1、?、??相互獨立；2、??具有相同的分布，即??都是同質風險；其分布為?(?)、概率密度?(?)；?短期聚合風險模型的分布，就是研究如何用?的分布和??的分布來表示?的分布??的分布：二項分布、泊松分布、負二項分布等離散型分布；???的分布：指數分布、對數正態(tài)分布、伽瑪分布等取值于正半實軸
3、的連續(xù)分布；?命題6.1.1設X和Y是任意的隨機變量，而且數學期望和方差都存在，則有：???=????(6.1.2)?????=??????+???[?(?
4、?)](6.1.3)?一、聯合密度與邊際密度（離散隨機變量?,?）?(?,?)=(??,??)=???,?=0,1,…,n,j=0,1,…,n???稱為(?,?)的聯合分布，用如下分布表表示：??????…??????????…??????????????…???…………???????????…???????課堂作業(yè)：已知(?,?)的概率分布表如下：??11.51.31.210.200.201.20.2
5、0001.400.2000.90000.2?求(?,?)的邊際分布,即???=?(?=??)，???=?(?=??)?課堂作業(yè)：已知(?,?)的概率分布表如下：??11.51.31.2?????=10.200.20??1=0.4??=1.20.2000??2=0.2??=1.400.200??3=0.2??=0.90000.2??4=0.2???0.40.20.20.2?=1?????求(?,?)的邊際分布,即???=?(?=??)，???=?(?=?)??二、條件概率與條件期望?1)若X與Y均為離散型隨機變量，則EXY(
6、?y)??xpX?(?xY
7、?y)
8、x?以上題為例，求?????，?(?
9、?=??)
10、?二、條件概率與條件期望?2)若X與Y有聯合密度函數?(?,?)，則??EXY(
11、??y)xf(
12、)xydx???XY
13、?三、條件期望與條件方差的性質1)對于隨機變量X與Y有??yEXY(
14、?y)?pY(?y)?EX??EEXY[(
15、)]????EXY[
16、?yf]()ydy????Y以上題為例，求?(??)??練習：設在一個指定的時間內供給一水電公司的電能ξ是一個隨機變量,且ξ在[10,30]上服從均勻分布.該公司對于電能的需要量η也是一個隨機變量,且η在[10,20]上服從均勻分布.對于所供給的電能,公司取
17、得每千瓦0.03元利潤,如果需要量超過所能供給的電能,公司就從另外的來源取得附加的電能加以補充,并取得每千瓦0.01元利潤,問在所考慮的指定時間內,公司所獲得的利潤的期望值是多少?條件期望的應用例解:設T是公司所獲得的利潤,則?0.03?,???T???0.03??0.01(???),???當x?[10,20)時,x1201E(T
18、??x)??0.03ydy??(0.01y?0.02x)dy1010x102?0.05?0.04x?0.001x當x?[20,30]時,由全概率公式,得201E(T
19、??x)??0.03ydy?0.4510101201302E(E
20、(T
21、?))??(0.05?0.04?0.001x)dx??0.45dx20102020?0.43例1、已知連續(xù)拋擲一枚硬幣出現正面的概率為?，現拋擲該硬幣直至出現正面，問需要拋擲的次數的數學期望是多少？解:設N為需要拋擲的次數，記?1,第一次拋出正面；Y???0,第一次拋出反面；故又因為ENY(
22、?1)1,(?ENY
23、?0)1??EN1從而有EN?p?(1?p)1??EN??EN?.p?例2、一名礦工被困在一個有三個通道的礦井之中，從第一個通道行進兩個小時后將到達安全地帶；從第二個通道行進三個小時后將繞回礦井原地；從第三個通道行進五個小時后將繞回礦井原地.
24、假定該礦工對此礦井的通道情況完全未知，那么他到達安全
