2014可線性化模型.ppt

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1、第四章非線性回歸模型的線性化因變量和解釋變量之間的線性關(guān)系，包括參數(shù)線性和解釋變量線性兩種。至今，線性總體回歸模型的一般形式為其中：Y是被解釋變量，X1，…，XK是解釋變量。此時(shí)，被解釋變量既是解釋變量的線性函數(shù)，也是相應(yīng)參數(shù)的線性函數(shù)。我們又稱之為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型。實(shí)際應(yīng)用中，只有很少一部分經(jīng)濟(jì)變量之間存在上述這種標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸關(guān)系。對(duì)于絕大多數(shù)經(jīng)濟(jì)變量而言，他們之間的關(guān)系都是非線性的。非線性回歸模型的一般形式其中，f(.)是關(guān)于解釋變量和相應(yīng)參數(shù)的一個(gè)非線性函數(shù)。具體地，又可以分為以下三類：非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型可線性化的非線性回歸模型不可線性化的非線性回歸模型非

2、標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型當(dāng)被解釋變量Y與解釋變量X1,X2,…,XK之間不存在線性關(guān)系，但是與參數(shù)之間存在線性關(guān)系時(shí)其中，f1(.),…,fK(.)是關(guān)于解釋變量的一個(gè)非線性函數(shù)。我們稱之為非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型。比如:可線性化的非線性回歸模型當(dāng)被解釋變量Y與解釋變量X1,X2,…,XK和參數(shù)之間都不存在線性關(guān)系，但是可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型時(shí)。我們稱之為可線性化的非線性回歸模型。比如C-D生產(chǎn)函數(shù)：不可線性化的非線性回歸模型當(dāng)被解釋變量Y與解釋變量X1,X2,…,XK和參數(shù)之間都不存在線性關(guān)系，并且不可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型時(shí)。我們稱之為不

3、可線性化的非線性回歸模型。比如：對(duì)于這些不符合線性假定的模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，必須加以適當(dāng)?shù)淖儞Q以后，才能用OLS方法估計(jì)模型參數(shù)。對(duì)前兩類情況，雖然其形式是非線性的，但可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為線性模型，然后利用線性回歸模型的估計(jì)與檢驗(yàn)方法進(jìn)行處理。下面介紹幾種典型的可以做線性化處理的非線性模型。對(duì)于參數(shù)線性的模型，可以采用變量的直接代換，轉(zhuǎn)化為參數(shù)、變量均為線性的形式進(jìn)行估計(jì)。1、非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型多項(xiàng)式方程模型多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是(4.4)圖4.9yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut圖4.10yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+utyt=

4、b0+b1xt+b2xt2+ut(4.14)其中b1>0,b2>0和b1<0,b2<0情形的圖形分別見(jiàn)圖4.11和4.12。令xt1=xt，xt2=xt2，上式線性化為，yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut(4.15)如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本曲線、平均成本曲線與圖4.11相似。描述自變量對(duì)因變量遞增或者遞減的邊際效應(yīng)。圖4.11yt=b0+b1xt+b2xt2+ut圖4.12yt=b0+b1xt+b2xt2+ut另一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式二次函數(shù)yt=b0+b1xt+b2xt2+ut當(dāng)b1>0,b2<0時(shí)，具有拋物線的形式，在點(diǎn)-2b1/b2之前x對(duì)y的影響是正的，

5、在點(diǎn)-2b1/b2之后x對(duì)y的影響是負(fù)的，在點(diǎn)-2b1/b2處為0。當(dāng)b1>0,b2>0時(shí)，具有U型的形式，在點(diǎn)-2b1/b2之前x對(duì)y的影響是負(fù)的，在點(diǎn)-2b1/b2之后x對(duì)y的影響是正的，在點(diǎn)-2b1/b2處影響為0?？梢耘c對(duì)數(shù)聯(lián)合使用。含有交互作用項(xiàng)的模型yt=b0+b1xt1+b2xt2++b3xt1xt2ut因變量對(duì)一個(gè)解釋變量的偏效應(yīng)、彈性或者半彈性與另一個(gè)或幾個(gè)解釋變量有關(guān)。例4.1雙曲線函數(shù)模型1/yt=α+β/xt+ut(4.6)也可寫(xiě)成，yt=1/(α+β/xt+ut)β<0情形的圖形見(jiàn)圖。yt=1/(α+β/xt),(β>0)倒數(shù)模型這是雙曲線

6、函數(shù)的另一種表達(dá)方式令變量，則回歸函數(shù)可變?yōu)椋焊鶕?jù)解釋變量的觀測(cè)值，計(jì)算出X*i的之后進(jìn)行OLS估計(jì)，得到：因此可得到原模型的估計(jì)方程：xt和yt的關(guān)系是非線性的。令xt*=1/xt，得yt=α+βxt*+ut上式已變換成線性回歸模型。圖4.8yt=α+β/xt,(β>0)yt=α+β/xt+ut半對(duì)數(shù)函數(shù)模型yt=α+βLnxt+utβ>0和β<0兩種情形的圖形分別見(jiàn)圖。xt和yt的關(guān)系是非線性的。令xt*=Lnxt,則yt=α+βxt*+ut變量yt和xt*已變換成為線性關(guān)系。圖4.3yt=α+βLnxt+ut,(β>0)圖4.4yt=α+βLnxt+ut,(β

7、<0)S-曲線函數(shù)模型1/yt=α+βe-x+ut令yt*=1/yt,xt*=e-xyt=α+βxt*+ut2、可線性化的非線性回歸模型冪函數(shù)模型yt=axtbb取不同值的圖形分別見(jiàn)圖4.5和4.6。xt和yt的關(guān)系是非線性的。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取對(duì)數(shù)，得Lnyt=Lna+bLnxt+ut令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,則上式表示為yt*=a*+bxt*+ut變量yt*和xt*之間已成線性關(guān)系。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。也稱作全對(duì)數(shù)模型。圖4.5yt=axtb圖4.6yt=axtb冪函數(shù)模型半對(duì)數(shù)線性模型根據(jù)解釋變量的觀測(cè)值，進(jìn)行OLS估計(jì)，得到