《可線性化模型》PPT課件

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1、第四章非線性回歸模型的線性化因變量和解釋變量之間的線性關系，包括參數(shù)線性和解釋變量線性兩種。至今，線性總體回歸模型的一般形式為其中：Y是被解釋變量，X1，…，XK是解釋變量。此時，被解釋變量既是解釋變量的線性函數(shù)，也是相應參數(shù)的線性函數(shù)。我們又稱之為標準的線性回歸模型。實際應用中，只有很少一部分經(jīng)濟變量之間存在上述這種標準的線性回歸關系。對于絕大多數(shù)經(jīng)濟變量而言，他們之間的關系都是非線性的。非線性回歸模型的一般形式其中，f(.)是關于解釋變量和相應參數(shù)的一個非線性函數(shù)。具體地，又可以分為以下三類：非標準線性回歸模型可線性化的非線性回歸模型不可線性化的非線性回歸模型非標準線性回

2、歸模型當被解釋變量Y與解釋變量X1,X2,…,XK之間不存在線性關系，但是與參數(shù)之間存在線性關系時其中，f1(.),…,fK(.)是關于解釋變量的一個非線性函數(shù)。我們稱之為非標準線性回歸模型。比如:可線性化的非線性回歸模型當被解釋變量Y與解釋變量X1,X2,…,XK和參數(shù)之間都不存在線性關系，但是可以通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準線性回歸模型時。我們稱之為可線性化的非線性回歸模型。比如C-D生產(chǎn)函數(shù)：不可線性化的非線性回歸模型當被解釋變量Y與解釋變量X1,X2,…,XK和參數(shù)之間都不存在線性關系，并且不可以通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準線性回歸模型時。我們稱之為不可線性化的非線性回歸

3、模型。比如：對于這些不符合線性假定的模型進行參數(shù)估計，必須加以適當?shù)淖儞Q以后，才能用OLS方法估計模型參數(shù)。對前兩類情況，雖然其形式是非線性的，但可以通過適當?shù)淖儞Q，轉化為線性模型，然后利用線性回歸模型的估計與檢驗方法進行處理。下面介紹幾種典型的可以做線性化處理的非線性模型。對于參數(shù)線性的模型，可以采用變量的直接代換，轉化為參數(shù)、變量均為線性的形式進行估計。1、非標準線性回歸模型多項式方程模型多項式方程的表達形式是(4.4)圖4.9yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut圖4.10yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+utyt=b0+b1xt+b2xt2+u

4、t(4.14)其中b1>0,b2>0和b1<0,b2<0情形的圖形分別見圖4.11和4.12。令xt1=xt，xt2=xt2，上式線性化為，yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut(4.15)如經(jīng)濟學中的邊際成本曲線、平均成本曲線與圖4.11相似。描述自變量對因變量遞增或者遞減的邊際效應。圖4.11yt=b0+b1xt+b2xt2+ut圖4.12yt=b0+b1xt+b2xt2+ut另一種多項式方程的表達形式二次函數(shù)yt=b0+b1xt+b2xt2+ut當b1>0,b2<0時，具有拋物線的形式，在點-2b1/b2之前x對y的影響是正的，在點-2b1/b2之后x對y的影響是負的

5、，在點-2b1/b2處為0。當b1>0,b2>0時，具有U型的形式，在點-2b1/b2之前x對y的影響是負的，在點-2b1/b2之后x對y的影響是正的，在點-2b1/b2處影響為0?？梢耘c對數(shù)聯(lián)合使用。含有交互作用項的模型yt=b0+b1xt1+b2xt2++b3xt1xt2ut因變量對一個解釋變量的偏效應、彈性或者半彈性與另一個或幾個解釋變量有關。例4.1雙曲線函數(shù)模型1/yt=α+β/xt+ut(4.6)也可寫成，yt=1/(α+β/xt+ut)β<0情形的圖形見圖。yt=1/(α+β/xt),(β>0)倒數(shù)模型這是雙曲線函數(shù)的另一種表達方式令變量，則回歸函數(shù)可變?yōu)椋焊鶕?jù)

6、解釋變量的觀測值，計算出X*i的之后進行OLS估計，得到：因此可得到原模型的估計方程：xt和yt的關系是非線性的。令xt*=1/xt，得yt=α+βxt*+ut上式已變換成線性回歸模型。圖4.8yt=α+β/xt,(β>0)yt=α+β/xt+ut半對數(shù)函數(shù)模型yt=α+βLnxt+utβ>0和β<0兩種情形的圖形分別見圖。xt和yt的關系是非線性的。令xt*=Lnxt,則yt=α+βxt*+ut變量yt和xt*已變換成為線性關系。圖4.3yt=α+βLnxt+ut,(β>0)圖4.4yt=α+βLnxt+ut,(β<0)S-曲線函數(shù)模型1/yt=α+βe-x+ut令yt*=

7、1/yt,xt*=e-xyt=α+βxt*+ut2、可線性化的非線性回歸模型冪函數(shù)模型yt=axtbb取不同值的圖形分別見圖4.5和4.6。xt和yt的關系是非線性的。對上式等號兩側同取對數(shù)，得Lnyt=Lna+bLnxt+ut令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,則上式表示為yt*=a*+bxt*+ut變量yt*和xt*之間已成線性關系。其中ut表示隨機誤差項。也稱作全對數(shù)模型。圖4.5yt=axtb圖4.6yt=axtb冪函數(shù)模型半對數(shù)線性模型根據(jù)解釋變量的觀測值，進行OLS估計，得到