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1、理論力學(xué)2.1約束2.1.1約束及其分類體系的位形：對于N個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，它在任意時刻的位置形狀。位形可用N個質(zhì)點(diǎn)的位矢描述也可用一組變數(shù)描述，這組變數(shù)稱為坐標(biāo)，坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)稱為速度。約束通常表示為：或（約束方程或約束不等式）為了書寫方便，作如下縮記約束分類：1.按約束能否脫離（解除）分類可解約束（非固執(zhí)約束）：能夠脫離（解除）的約束也叫單面約束不可解約束（固執(zhí)約束）：也叫雙面面約束不能脫離（解除）的約束例：質(zhì)點(diǎn)被一柔繩連在一固定點(diǎn)上作任意運(yùn)動OlOl例：質(zhì)點(diǎn)被一剛性桿和一固定點(diǎn)連接2.1.2廣義坐標(biāo)與自由度若體系有約束存在，則n
2、個坐標(biāo)可能是不獨(dú)立的。這時可取一組獨(dú)立參數(shù)來代替它們描寫體系的位形：這組獨(dú)立的參數(shù)叫作廣義坐標(biāo)。注：廣義坐標(biāo)包含了約束的信息，其作用可取代約束方程。若體系為完整系，存在k個完整約束：則獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)為，它也是獨(dú)立速度的數(shù)目。若體系為非完整系，假設(shè)除了k個完整約束之外，還有l(wèi)個非完整約束：從以上方程還可解出l個速度，因此獨(dú)立速度的數(shù)目為：體系的自由度對完整系獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)等于自由度，對非完整系獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)大于自由度。2.1.3虛位移與虛速度設(shè)對于質(zhì)點(diǎn)組存在完整約束：它是3N維空間中的一個超曲面。在主動力和約束力作用下，體系的牛頓方程為目的：用約束條
3、件取代約束力R，使R不出現(xiàn)在運(yùn)動方程中對于一大類約束，約束力矢量沿超曲面的法向方向方法：用切平面內(nèi)的任意矢量與約束力R點(diǎn)乘，就可消去R為得到切平面內(nèi)的矢量，設(shè)想在某一時刻，體系的位形在約束許可的條件下，發(fā)生一微小的變更，使變更后的位形仍滿足該時刻的約束條件將上式在附近進(jìn)行泰勒展開，保留到一級項(xiàng)這種假想的，在某一固定時刻約束所許可的位置變更叫作虛位移。虛位移方程約束的全微分為：虛位移可以看作在約束的全微分中取得到。虛位移可以看作是將時間“凝固”得到的位移。------①而滿足①式的位置變更叫作可能位移，體系的實(shí)位移是可能位移的一個。當(dāng)且僅
4、當(dāng)約束是穩(wěn)定約束時虛位移才與可能位移相同。虛位移可用廣義坐標(biāo)的虛變更表示為：廣義坐標(biāo)的這種虛變更稱為廣義坐標(biāo)的變分。也可引入虛速度的概念，即在約束許可條件下，某固定時刻速度的微小變更：其中為廣義速度的虛變更，稱為廣義速度的變分。2.1.4泛函及其變分當(dāng)把體系的廣義坐標(biāo)和廣義速度視為時間的未知隱函數(shù)時，函數(shù)稱為變量和的泛函。和稱為泛函的函數(shù)構(gòu)成。泛函和普通復(fù)合函數(shù)的區(qū)別：◆泛函的宗量和是未知的，可以任意變化，t的作用只是一個參數(shù)?！羝胀◤?fù)合函數(shù)的宗量通常為時間的已知函數(shù)，它最終以t為宗量。設(shè)想泛函在某一固定時刻因廣義坐標(biāo)和廣義速度的微小變
5、更而發(fā)生一個假想的變更（泛函的等時變分，簡稱變分）變分的運(yùn)算性質(zhì)：另外，由于在等時變分中時間是凝固的，它可以與時間的微分和積分交換順序：證明：變分可以與時間的微分和積分交換順序證：依照變分的定義：特例：速度變分與坐標(biāo)變分的關(guān)系例：證明如下兩個經(jīng)典拉格朗日關(guān)系證：根據(jù)將上式對求偏導(dǎo)，得將①式對求偏導(dǎo)，得：---------①證畢。2.2虛功原理2.2.1虛功原理虛功：力F在虛位移下所作的功設(shè)完整系中每個質(zhì)點(diǎn)所受的主動力和約束力分別為Fi和Ri則體系的總虛功為理想約束：如果所有約束力在任意虛位移上的虛功之和為零：說明：虛功只具有功的量綱，并
6、不與任何真實(shí)的能量轉(zhuǎn)化過程相關(guān)。虛功原理：受理想約束的系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)的必要條件是系統(tǒng)全部主動力在任意虛位移中的虛功之和為零，即【補(bǔ)充】如果上述理想約束還是定常的，則還是系統(tǒng)能處于靜平衡的充分條件.證明：因體系處于平衡狀態(tài)，對每個質(zhì)點(diǎn)有理想約束證明：如果約束是定常的，則真實(shí)位移是虛位移之一，則由質(zhì)點(diǎn)組動能定理可知：因此，若系統(tǒng)初始時各質(zhì)點(diǎn)靜止，則以后也會保持靜止，即處于靜平衡。得證注：以上只是針對靜平衡。否則有反例，如小球在不可伸長的繩的約束下做勻速圓周運(yùn)動.虛功還可以用廣義坐標(biāo)來表示：定義廣義力：（可理解為力在廣義坐標(biāo)軸上的投影）則：
7、因此虛功原理可用廣義坐標(biāo)表示為：因?yàn)楦鞅舜霜?dú)立，所以（完整系的平衡方程）若體系為保守系，則于是：故保守系的平衡方程可寫為或應(yīng)用虛功原理處理問題主要步驟：(1)判斷約束類型是否滿足虛功原理適用條件；(2)正確判斷自由度，選擇合適的廣義坐標(biāo)；(3)分析并圖示系統(tǒng)受到的主動力；(4)虛功原理—坐標(biāo)變換方程—廣義平衡方程；有勢系—求V—坐標(biāo)變換方程—廣義平衡方程(5)求解廣義平衡方程虛功方程中不出現(xiàn)約束力，所以不能直接用它來求解約束力。技術(shù)處理：有時可以把要求解的約束力當(dāng)成主動力，并把相應(yīng)的約束解除。那么就進(jìn)入了虛功方程。這樣就可求解該約束力了
8、。對于非理想約束體系：只要把相應(yīng)于非理想約束的約束力包括在主動力中，仍可用虛功原理進(jìn)行研究。例：均勻桿OA，重量為P1，長度為l1，能夠在固定平面內(nèi)繞固定鉸鏈O轉(zhuǎn)動。此桿的A端用鉸鏈連一重量為P2，長度為l
