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《最新第5章---兩點邊值問題求解方法教學(xué)講義PPT課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第5章---兩點邊值問題求解方法第二部分邊值問題求解方法第5章兩點邊值問題求解方法2021/8/3打靶法的幾何解釋：5.2打靶法打靶：求解初值問題2021/8/35.1.1割線法以兩個不同的α值求解初值問題，得到兩個解：根據(jù)初值條件知：假設(shè)是α的線性函數(shù)，可取α為：迭代求解公式：結(jié)束條件：5.2打靶法2021/8/3割線法的幾何解釋：5.2打靶法線性近似：按割線求根2021/8/35.1.2牛頓法求解非線性方程（組）：在已知初值α0的處Taylor展開：線性近似：迭代求解公式：結(jié)束條件：5.2打靶法2021/8/3差分法求偏
2、導(dǎo)數(shù)或采用其它數(shù)值微分方法。f可微時解偏導(dǎo)數(shù)微分方程微分方程對α求偏導(dǎo)：5.2打靶法初值問題，可解！（與割線法等價）割線代替切線2021/8/3每一步迭代求解初值問題其中：解得：得到的終端值和對α的偏導(dǎo)數(shù)：5.2打靶法2021/8/3作業(yè)題5：用牛頓打靶法求解兩點邊值問題迭代初始條件取。5.2打靶法2021/8/35.3有限差分法以二階系統(tǒng)為例，邊值問題：有限差分近似將區(qū)間等分為N個子區(qū)間將在xi處Taylor展開：5.3有限差分法用差分近似代替微分，將微分方程化為代數(shù)方程求解2021/8/3若取x=xi+1=x+ih：忽略
3、二階以上部分，得一階導(dǎo)數(shù)的前向差分近似：若取x=xi-1=x-ih：忽略二階以上部分，得一階導(dǎo)數(shù)的后向差分近似：5.3有限差分法一階精度一階精度2021/8/3xi+1和xi-1在xi處的Taylor展開相減，忽略三階以上部分，得一階導(dǎo)數(shù)的中心差分近似：xi+1和xi-1在xi處的Taylor展開相加，忽略四階以上部分，得二階導(dǎo)數(shù)中心差分近似：三階導(dǎo)數(shù)的中心差分近似？5.3有限差分法二階精度二階精度2021/8/3xi+1和xi-1在xi處的Taylor展開相減，忽略五階以上部分：xi+2和xi-2在xi處的Taylor展開
4、相減，忽略五階以上部分：三階導(dǎo)數(shù)的中心差分近似：四階導(dǎo)數(shù)的中心差分近似：5.3有限差分法二階精度二階精度2021/8/3有限差分法解微分方程兩點邊值問題微分方程離散化，將區(qū)間等分為N個子區(qū)間：在節(jié)點上應(yīng)用中心差分公式，得到代數(shù)方程組：5.3有限差分法2021/8/3有限差分法解微分方程兩點邊值問題的幾何解釋5.3有限差分法離散點：微分用有限差分近似2021/8/3例5.1：用有限差分法求解兩點邊值問題取離散化區(qū)間h=0.1，N=10。5.3有限差分法2021/8/3線性方程組：即：5.3有限差分法2021/8/35.4有限元
5、法以二階系統(tǒng)為例，考慮邊值問題：5.4.1投影類方法的基本思想以一簡單函數(shù)近似y(x)，給出連續(xù)近似解，例如：一般形式：，已知，待定。殘差：某種意義上使殘差最小，則得到某種準(zhǔn)則下最佳的近似解。5.4有限元法2021/8/3區(qū)間殘差平方和最?。鹤钚《朔ㄈ舾商囟c處殘差為零：配點法加權(quán)殘差為零：加權(quán)殘差法Galerkin法：。5.4有限元法計算復(fù)雜，不常用為權(quán)函數(shù)2021/8/3例5.2：考慮兩點邊值問題解析解為：試用配點法和加強殘差法求解該問題近似解。5.4有限元法2021/8/35.4有限元法解析解2021/8/3設(shè)近似解
6、的形式：基函數(shù)的選擇示例：為滿足邊值條件要求取二次函數(shù)以及三次項N=2（1）配點法近似解的殘差令N個點處殘差為零求解系數(shù)，如5.4有限元法線性函數(shù)不滿足配點？2021/8/3（2）加權(quán)殘差法要求：Galerkin法，取即：5.4有限元法2021/8/35.4有限元法配點法、Galerkin加權(quán)殘差法與精確解的比較2021/8/35.4.2有限元法的基本思想將區(qū)域（區(qū)間）劃分為小的單元，在單元上表示近似解以及求殘差加權(quán)積分。第i個單元，Ei，，在每個單元上解用多項式近似；在每個單元上計算加權(quán)殘差；根據(jù)各單元滿足的方程確定多項式
7、近似解的系數(shù)。5.4有限元法局部近似，分段光滑可以用簡單的低階近似2021/8/35.4.3有限元法：線性元為例解在每個單元上采用x的線性函數(shù)近似表示。5.4有限元法2021/8/3線性函數(shù)具有2個自由度：由兩個端點的函數(shù)值確定；N個線性單元，近似連續(xù)函數(shù)，N+1個自由度：由N+1個節(jié)點的函數(shù)值唯一確定。設(shè)近似解表達(dá)為：由可知5.4有限元法線性函數(shù)2021/8/3近似解可以用節(jié)點基函數(shù)表示為：節(jié)點基函數(shù)在節(jié)點j處：由于近似表達(dá)式中取值的任意性，可知：5.4有限元法節(jié)點基函數(shù)的特性2021/8/3對于線性元，節(jié)點基函數(shù)在每個單
8、元內(nèi)是線性函數(shù)：5.4有限元法第i個節(jié)點基函數(shù)的幾何表示2021/8/3節(jié)點函數(shù)值的求解：加權(quán)殘差Galerkin法近似解的節(jié)點基函數(shù)表示：Galerkin法求，即解方程組：其中：（對于示例二階系統(tǒng)）即：分部積分：5.4有限元法2021/8/3在第i個單元內(nèi)，Ei：5.4有限元法單元內(nèi)為連
