最新計算固體01-1教學講義PPT課件.ppt

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1、計算固體01-1彈性力學中的幾個基本假設彈性力學的研究對象是由實際工程材料抽象出來的彈性可變形物體簡稱為彈性體．在建立這種理想模型時作了一些假設．引進這些假設在于突出矛盾的主要因素，而忽略一些次要因素．下面是彈性力學中的幾個基本假設:(一)連續(xù)性假設彈性體是一種密實的連續(xù)介質，并在整個變形過程中保持其連續(xù)性．連續(xù)性假設有兩層含義:(1)把物體抽象成一個形狀和位置與其相同的，連續(xù)而密實的空間幾何體，物體的統(tǒng)計物理性質以及位移、應變、應力、能量等物理量都作為空間點位置的函數(shù)定義在這個幾何體上，這種抽象的數(shù)學模型稱為連續(xù)介質．(四)自然狀態(tài)假設假設物體不受外力作用和溫度的影

2、響，其中便沒有應力和變形．即不考慮由制造工藝引起的殘余應力和裝配應力．在經(jīng)典的彈性力學中還有各向同性假設．即材料是各向同性的，現(xiàn)在一些復合材料并不是各向同性的．所以就不必用各向同性這個假設了．彈性力學的基本方程彈性力學的理論是建立在幾何方程、平衡方程、本構方程三組方程和邊界條件的基礎上．這里給出彈性體的幾何方程、平衡方程、本構方程和邊界條件．(1)幾何方程－應變-位移關系應變張量分量和位移向量分量表示對獨立坐標取偏導數(shù)采用張量標記時，重復下標表示在該下標的取值范圍內求和，三維情況下取值范圍為3，二維情況取值范圍為2．三維情況下的應變-位移關系為：應變協(xié)調方程是從應變位

3、移關系中消去位移而得出的方程，這里列出如下：應變位移關系也可以用矩陣形式表示：應變列陣和位移列陣式中的為工程切應變，它們與張量切應變的關系為，微分算子(2)平衡方程應力張量分量和體力向量分量．矩陣形式表示應力列陣,體力列陣為的轉置矩陣三維平衡方程可寫為：(3)材料的應力-應變關系矩陣形式表示材料的應力-應變關系也稱為本構方程,對于各向異性材料的本構方程為材料的本構矩陣本構矩陣是對稱的,各向異性材料有21個材料常數(shù)．正交各向異性材料的本構矩陣這時材料常數(shù)為9個．各向同性材料的本構矩陣獨立的材料常數(shù)只有兩個：彈性模量和泊松比．各向同性材料的材料常數(shù)彈性模量和泊松比剪切模量

4、,體積模量拉梅(Lamé)常數(shù)材料常數(shù)之間的關系力的邊界條件(在上)已知的外部作用力邊界上外法線的方向余弦在位移邊界上的邊界條件給定的位移彈性體的全部邊界彈性力學的變分原理隨著工業(yè)技術的發(fā)展，工程結構的形狀也越來越復雜，很多問題得不到分析解，因而求助于數(shù)值解．而變分原理則是許多數(shù)值解的基礎.彈性力學問題，在數(shù)學上就是空間連續(xù)場的確定問題．變分法就是把它歸結為一個泛函變分的極值問題或駐值問題．應變能和應變余能對于一個彈性體,它的應變能和應變余能定義為應變能應變余能應變能密度應變余能密度二者關系對于彈性材料對于線彈性體，應變能密度和應變余能密度是相等的．對于非線性材料二者

5、是不等的．此式表示和相對于全功而言是互余關系．二次函數(shù)關系可以表示為應變和應力的二次函數(shù)虛位移原理和最小勢能原理凡是物體幾何約束(例如,支承條件)所允許的位移就稱為可能位移,取其任意微小的變化量就是虛位移,也就是幾何上可能位移的變分．根據(jù)能量守恒定律，外力在虛位移上所做的功（虛功）必等于物體內部應力在虛應變上所做的功，這就是虛功原理或虛位移原理：式中左邊第一項是體積力在虛位移上所做的功,第二項則是邊界力在虛位移上所做的功，等號右邊是應力在虛應變上所做的功，也即應變能．其中虛應變由下式求得：經(jīng)過推導后虛功原理可化為在內在上需使上式對一切可能的虛位移都成立,必須滿足：所以

6、是與外載相平衡的靜力可能的應力場．對問題的精確解來說，滿足虛功原理和滿足平衡方程與力邊界條件是等價的．如果僅在積分意義下滿足虛功原理，而不能逐點滿足平衡方程力邊界條件,則為近似解．用虛位移原理直接求近似解的步驟是：(1)假設一個滿足位移邊界條件且連續(xù)的可能位移狀態(tài)．在的表達式中含有若干可調整的待定位移參數(shù)作為基本未知量．(2)把代入幾何方程和本構關系,求得用位移參數(shù)表示的變形可能應力的表達式．(3)把對各位移參數(shù)求變分得到相應的虛位移和虛應變．(4)把,和代入虛位移原理,按各位移參數(shù)的變分并項．令各位移參數(shù)變分的系數(shù)分別等于零，得到一組虛功方程，其實質是用位移參數(shù)表示

7、的近似平衡方程．(5)由虛功方程解出待定位移參數(shù)，代回,的表達式就得到所求問題的近似解．解的精度與第(1)步中所選的表達式有關．最小勢能原理彈性系統(tǒng)的總勢能對上式取位移的一次變分根據(jù)虛位移原理總勢能的二階變分其中虛位移后的總勢能可以寫為其中最小勢能原理是應變分量的二次式,是正定函數(shù)因此表明系統(tǒng)的總勢能不但是極值而且是最小值.這就證明了最小勢能原理：在滿足幾何約束的各類可能位移狀態(tài)中，以適合平衡方程和外力作用的實際位移所對應的總勢能為最?。搼υ砗妥钚∮嗄茉硖搼υ砘蛴嗵摴υ淼臄⑹鍪牵何灰七吔缣幗o定位移在虛反力上所做的余虛功等于應變在虛應力上