最新計(jì)算固體01-1教學(xué)講義PPT課件.ppt

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1、計(jì)算固體01-1彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本假設(shè)彈性力學(xué)的研究對(duì)象是由實(shí)際工程材料抽象出來的彈性可變形物體簡稱為彈性體．在建立這種理想模型時(shí)作了一些假設(shè)．引進(jìn)這些假設(shè)在于突出矛盾的主要因素，而忽略一些次要因素．下面是彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本假設(shè):(一)連續(xù)性假設(shè)彈性體是一種密實(shí)的連續(xù)介質(zhì)，并在整個(gè)變形過程中保持其連續(xù)性．連續(xù)性假設(shè)有兩層含義:(1)把物體抽象成一個(gè)形狀和位置與其相同的，連續(xù)而密實(shí)的空間幾何體，物體的統(tǒng)計(jì)物理性質(zhì)以及位移、應(yīng)變、應(yīng)力、能量等物理量都作為空間點(diǎn)位置的函數(shù)定義在這個(gè)幾何體上，這種抽象的數(shù)學(xué)模型稱為連續(xù)介質(zhì)．(四)自然狀態(tài)假設(shè)假設(shè)物體不受外力作用和溫度的影

2、響，其中便沒有應(yīng)力和變形．即不考慮由制造工藝引起的殘余應(yīng)力和裝配應(yīng)力．在經(jīng)典的彈性力學(xué)中還有各向同性假設(shè)．即材料是各向同性的，現(xiàn)在一些復(fù)合材料并不是各向同性的．所以就不必用各向同性這個(gè)假設(shè)了．彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的理論是建立在幾何方程、平衡方程、本構(gòu)方程三組方程和邊界條件的基礎(chǔ)上．這里給出彈性體的幾何方程、平衡方程、本構(gòu)方程和邊界條件．(1)幾何方程－應(yīng)變-位移關(guān)系應(yīng)變張量分量和位移向量分量表示對(duì)獨(dú)立坐標(biāo)取偏導(dǎo)數(shù)采用張量標(biāo)記時(shí)，重復(fù)下標(biāo)表示在該下標(biāo)的取值范圍內(nèi)求和，三維情況下取值范圍為3，二維情況取值范圍為2．三維情況下的應(yīng)變-位移關(guān)系為：應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是從應(yīng)變位

3、移關(guān)系中消去位移而得出的方程，這里列出如下：應(yīng)變位移關(guān)系也可以用矩陣形式表示：應(yīng)變列陣和位移列陣式中的為工程切應(yīng)變，它們與張量切應(yīng)變的關(guān)系為，微分算子(2)平衡方程應(yīng)力張量分量和體力向量分量．矩陣形式表示應(yīng)力列陣,體力列陣為的轉(zhuǎn)置矩陣三維平衡方程可寫為：(3)材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系矩陣形式表示材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系也稱為本構(gòu)方程,對(duì)于各向異性材料的本構(gòu)方程為材料的本構(gòu)矩陣本構(gòu)矩陣是對(duì)稱的,各向異性材料有21個(gè)材料常數(shù)．正交各向異性材料的本構(gòu)矩陣這時(shí)材料常數(shù)為9個(gè)．各向同性材料的本構(gòu)矩陣獨(dú)立的材料常數(shù)只有兩個(gè)：彈性模量和泊松比．各向同性材料的材料常數(shù)彈性模量和泊松比剪切模量

4、,體積模量拉梅(Lamé)常數(shù)材料常數(shù)之間的關(guān)系力的邊界條件(在上)已知的外部作用力邊界上外法線的方向余弦在位移邊界上的邊界條件給定的位移彈性體的全部邊界彈性力學(xué)的變分原理隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)的形狀也越來越復(fù)雜，很多問題得不到分析解，因而求助于數(shù)值解．而變分原理則是許多數(shù)值解的基礎(chǔ).彈性力學(xué)問題，在數(shù)學(xué)上就是空間連續(xù)場的確定問題．變分法就是把它歸結(jié)為一個(gè)泛函變分的極值問題或駐值問題．應(yīng)變能和應(yīng)變余能對(duì)于一個(gè)彈性體,它的應(yīng)變能和應(yīng)變余能定義為應(yīng)變能應(yīng)變余能應(yīng)變能密度應(yīng)變余能密度二者關(guān)系對(duì)于彈性材料對(duì)于線彈性體，應(yīng)變能密度和應(yīng)變余能密度是相等的．對(duì)于非線性材料二者

5、是不等的．此式表示和相對(duì)于全功而言是互余關(guān)系．二次函數(shù)關(guān)系可以表示為應(yīng)變和應(yīng)力的二次函數(shù)虛位移原理和最小勢能原理凡是物體幾何約束(例如,支承條件)所允許的位移就稱為可能位移,取其任意微小的變化量就是虛位移,也就是幾何上可能位移的變分．根據(jù)能量守恒定律，外力在虛位移上所做的功（虛功）必等于物體內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功，這就是虛功原理或虛位移原理：式中左邊第一項(xiàng)是體積力在虛位移上所做的功,第二項(xiàng)則是邊界力在虛位移上所做的功，等號(hào)右邊是應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功，也即應(yīng)變能．其中虛應(yīng)變由下式求得：經(jīng)過推導(dǎo)后虛功原理可化為在內(nèi)在上需使上式對(duì)一切可能的虛位移都成立,必須滿足：所以

6、是與外載相平衡的靜力可能的應(yīng)力場．對(duì)問題的精確解來說，滿足虛功原理和滿足平衡方程與力邊界條件是等價(jià)的．如果僅在積分意義下滿足虛功原理，而不能逐點(diǎn)滿足平衡方程力邊界條件,則為近似解．用虛位移原理直接求近似解的步驟是：(1)假設(shè)一個(gè)滿足位移邊界條件且連續(xù)的可能位移狀態(tài)．在的表達(dá)式中含有若干可調(diào)整的待定位移參數(shù)作為基本未知量．(2)把代入幾何方程和本構(gòu)關(guān)系,求得用位移參數(shù)表示的變形可能應(yīng)力的表達(dá)式．(3)把對(duì)各位移參數(shù)求變分得到相應(yīng)的虛位移和虛應(yīng)變．(4)把,和代入虛位移原理,按各位移參數(shù)的變分并項(xiàng)．令各位移參數(shù)變分的系數(shù)分別等于零，得到一組虛功方程，其實(shí)質(zhì)是用位移參數(shù)表示

7、的近似平衡方程．(5)由虛功方程解出待定位移參數(shù)，代回,的表達(dá)式就得到所求問題的近似解．解的精度與第(1)步中所選的表達(dá)式有關(guān)．最小勢能原理彈性系統(tǒng)的總勢能對(duì)上式取位移的一次變分根據(jù)虛位移原理總勢能的二階變分其中虛位移后的總勢能可以寫為其中最小勢能原理是應(yīng)變分量的二次式,是正定函數(shù)因此表明系統(tǒng)的總勢能不但是極值而且是最小值.這就證明了最小勢能原理：在滿足幾何約束的各類可能位移狀態(tài)中，以適合平衡方程和外力作用的實(shí)際位移所對(duì)應(yīng)的總勢能為最小．虛應(yīng)力原理和最小余能原理虛應(yīng)力原理或余虛功原理的敘述是：位移邊界處給定位移在虛反力上所做的余虛功等于應(yīng)變在虛應(yīng)力上