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《矩陣的秩的性質(zhì).docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、精品文檔矩陣的秩的性質(zhì)和矩陣秩與矩陣運(yùn)算之間的關(guān)系要談矩陣的秩，就得從向量組的秩說起，向量組的秩，簡(jiǎn)而言之就是其極大無關(guān)組里向量的個(gè)數(shù)。進(jìn)而擴(kuò)展到線性方程組，在線性方程組的概念中（課本P90）定理1說：“線性方程組有解的充要條件是，它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩?！蹦敲床环涟丫仃囉孟蛄拷M的方式來看，則有行秩和列秩，一個(gè)矩陣的行秩和列秩相同，而其初等變換又不會(huì)改變秩。自然而然，我們就得到了一個(gè)判斷矩陣秩的方法，就是將它轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣，非零行數(shù)目即其秩。矩陣進(jìn)一步發(fā)展就是運(yùn)算了，包括數(shù)乘、加減、乘積等，又涉及到單位矩陣、三角矩陣、可逆矩陣
2、以及矩陣的分塊等概念，綜合所學(xué)，我們得到如下性質(zhì)：1、矩陣的初等變換不改變秩，任一矩陣的行秩等于列秩。2、秩為r的n級(jí)矩陣（nr），任意r+1階行列式為0，并且至少有一個(gè)r階子式不為0.3、rank(AB)min{rank(A),rank(B)}rank(A)rank(A')，rank(AB)rank(A)rank(B)rank(kA)rank(A)4、設(shè)A是sn矩陣，B為ns矩陣，則rank(A)rank(B)nrank(AB)min{rank(A),rank(B)}5、設(shè)A是sn矩陣，P,Q分別是s,n階可逆矩陣，則rank(PA)r
3、ank(AQ)rank(A)。1歡迎下載精品文檔6、設(shè)A是sn矩陣，B為ns矩陣，且，則AB=0rank(A)rank(B)n7、設(shè)A是sn矩陣，則rank(AA')rank(A'A)rank(A)其中，也涉及到線性方程組解得問題：8、對(duì)于齊次線性方程組，設(shè)其系數(shù)矩陣為A，rank(A)n則方程組有惟一非零解，rank(A)n則有無窮多解，換言之，即為克萊姆法則，非齊次線性方程組有解時(shí)，rank(A)n惟一解，rank(A)n有無窮多解。還有滿秩矩陣：9、可逆滿秩10、行（列）向量組線性無關(guān)，即n級(jí)矩陣化為階梯形矩陣后非零行數(shù)目為n。擴(kuò)展
4、到矩陣的分塊后：A10rankrank(A1)rank(An)11、0AnACrankrank(A)rank(B)12、0B。2歡迎下載精品文檔證明：1、先證明初等變換不會(huì)改變秩，就先從行秩開始。設(shè)矩陣A的行向量組是1，2s，設(shè)A經(jīng)過1初等變換j+i*k變成矩陣B，則B的行向量組是1,,i,,kij,,s，顯然，1,,i,,kij,,s可由1，2s線性表出，由于j1k(ijk)i，2s也可由1,,i,,kij,,s線性，因此1表出，于是它們等價(jià)，而等價(jià)向量組有相同的秩，因此A的行秩等于B的列秩。容易證明，2型和3型初等變換亦使所得矩陣的
5、行向量組與原矩陣等價(jià)，從而不改變矩陣的行秩。進(jìn)而列秩也可以得到證明，又已知階梯形矩陣的行秩與列秩相同，那么，講一個(gè)矩陣通過初等變換得到階梯形矩陣，行秩等于列秩的性質(zhì)便得證。2、設(shè)sn矩陣A的秩為r，則A的行向量組中有r個(gè)線性無關(guān)的向量，設(shè)A的第i1,,ir行向量線性無關(guān)，它們組成一個(gè)矩陣A1（稱A1是A的子矩陣），由于A1的行向量組線性無關(guān)，因此A1的行秩為r，列秩也為r。于是A1又r列線性無關(guān)。設(shè)A1的第j1,,jr列線性無關(guān)，它們組成A1的一個(gè)子矩陣A2的列向量組線性無關(guān)，因此
6、A2
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