近世代數(shù)之我見(jiàn).docx

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1、精品文檔一對(duì)課程的看法:1作用與意義近世代數(shù)的理論和方法不僅在數(shù)學(xué)理論本身中占有及其重要的地位,而且在其他學(xué)科中也有著廣泛的應(yīng)用,如理論物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)等。其研究的方法和觀點(diǎn),對(duì)這些學(xué)科產(chǎn)生了越來(lái)越大的影響。本課程旨在使學(xué)生對(duì)近世代數(shù)的基礎(chǔ)理論和基本的思想、方法有一個(gè)初步的了解,為學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)。要求學(xué)生能熟練掌握群、環(huán)、域的基本理論,包括其定義和基本的性質(zhì),并對(duì)模的概念有所理解。要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的公理化思想有初步認(rèn)識(shí)。2.本課程的主要內(nèi)容本課程講授四類典型的代數(shù)系統(tǒng):集合與運(yùn)算、群、環(huán)和域。其內(nèi)容包括:群的各種定

2、義,循環(huán)群,n階對(duì)稱群,變換群,子群與陪集,Lagrange定理,不變子群的定義及其性質(zhì),群同態(tài)和同構(gòu)基本定理,能夠計(jì)算群元素的階;環(huán)、域、理想、唯一分解環(huán)的定義,環(huán)中的可逆元,零因子、素元的定義,判別唯一分解環(huán)的方法。3.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn):群、正規(guī)子群、環(huán)、理想、同態(tài)基本原理。難點(diǎn):商群、商環(huán)。二、對(duì)教法的看法:“近世代數(shù)”是一門比較抽象的學(xué)科,初學(xué)者往往感到虛無(wú)飄渺,困難重重。為此,下面介紹五種常用的學(xué)習(xí)方法。一、通過(guò)例子來(lái)加深對(duì)基本理論的理解針對(duì)“近世代數(shù)”課程的概念抽象、難于理解的特點(diǎn),我們認(rèn)為理解概念的一種有效方法是多

3、舉已學(xué)過(guò)的典型例子。例如,一元多項(xiàng)式環(huán)和整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán)的例子,關(guān)于主理想整環(huán)的許多結(jié)論都是通過(guò)推廣關(guān)于多項(xiàng)式和整數(shù)的結(jié)論得到;一個(gè)無(wú)零因子交換環(huán)的商域就是模仿整數(shù)環(huán)和有理數(shù)環(huán)間的關(guān)系構(gòu)造的;整環(huán)里的因子分解理論就是分解質(zhì)因數(shù)和多項(xiàng)式的因式分解理論的推廣。當(dāng)我們學(xué)習(xí)“近世代數(shù)”時(shí),就僅僅背下來(lái)一些命題、性質(zhì)和定理,并不意味著真正地理解。要想真正理解,需要清楚這些命題、性質(zhì)和定理的前提條件為什么是必要的?而達(dá)到這個(gè)目的的最有效的方法就是構(gòu)造反例。通常的做法是:去掉一個(gè)前提條件后,構(gòu)造一個(gè)結(jié)論不成立的例子,從而表明所去掉的前提條件是

4、必要的。例如,關(guān)于素理想和極大理想的關(guān)系有結(jié)論:設(shè)R是含1交換環(huán),則R的極大理想一定是素理想。那么這個(gè)結(jié)論的條件“含1”是必要的嗎?這個(gè)問(wèn)題的答案可從下面的例子容易得到。例:設(shè)R是所有偶數(shù)構(gòu)成的環(huán),Z表示整數(shù)環(huán),則4Z是R的極大理想,但4Z不是R的素理想。二、通過(guò)變換角度來(lái)尋求問(wèn)題的解法通過(guò)變換角度來(lái)尋求問(wèn)題的解法是一種很普遍的解題方法,通常是將已知或未知較復(fù)雜的問(wèn)題變換為等價(jià)的較簡(jiǎn)單的問(wèn)題,或者是將新問(wèn)題變換為已經(jīng)解決的問(wèn)題,或者是將未知與已知關(guān)系較少的問(wèn)題變?yōu)橐阎c未知關(guān)系較多的問(wèn)題等等。下面舉例說(shuō)明這種方法:例:設(shè)是從G1到

5、G2的滿同態(tài),N2是G2的不變子群,N1=-1(N2),證明G1/N1同構(gòu)于G2/N2。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題,我們不直接證明G1/N1同構(gòu)于G2/N2,而是將問(wèn)題進(jìn)行變換,先構(gòu)造從G1到G2/N2的滿同態(tài),再證明N1是的核,然后根據(jù)同態(tài)基本定理知結(jié)論正確。三、通過(guò)“同構(gòu)”的觀點(diǎn)將知識(shí)點(diǎn)(問(wèn)題)歸類3歡迎下載。精品文檔“同構(gòu)”的概念非常重要,因?yàn)榉彩蔷哂型瑯?gòu)性質(zhì)的結(jié)構(gòu)在本質(zhì)上可看成是同一結(jié)構(gòu)。這樣就可以將對(duì)其中一個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析得到的性質(zhì)遷移到其它結(jié)構(gòu)上去。例如,在群結(jié)構(gòu)理論下,一個(gè)由元a所生成的循環(huán)群G,它的構(gòu)造完全可以由a的階來(lái)決定:如果

6、a的階無(wú)限,那么G與整數(shù)加群同構(gòu);如果a的階是有限整數(shù)n,那么G與模n的剩余類加群同構(gòu)。這樣研究了整數(shù)加群和以n為模的剩余類加群,整個(gè)循環(huán)群就都在我們掌握之中了。運(yùn)用同構(gòu)的觀點(diǎn)來(lái)學(xué)習(xí)“近世代數(shù)”,有利于弄清群、環(huán)、域間的縱橫關(guān)系,有利于全面、深刻、系統(tǒng)的理解所學(xué)的知識(shí),也有利于培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括的能力。四、通過(guò)重復(fù)加深理解對(duì)于“近世代數(shù)”中很抽象的內(nèi)容,需要反復(fù)閱讀,逐漸推敲,從不同角度去理解本質(zhì)所在。經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣的情況,讀第一遍時(shí)明白了,而讀第二遍時(shí)又糊涂了,這時(shí)要聯(lián)系前后內(nèi)容認(rèn)真思考未明白的地方。實(shí)際上是第一遍沒(méi)有真

7、正明白,或者只明白了表面的東西,尚未理解本質(zhì)所在。三、學(xué)習(xí)心得學(xué)習(xí)近世代數(shù)一個(gè)學(xué)期了,如果問(wèn)我對(duì)于這門課程是否有深刻的了解,是否從中真正地學(xué)到了一些數(shù)學(xué)基本知識(shí)。說(shuō)真的,對(duì)于諸如此類的問(wèn)題,我真的無(wú)法回答,因?yàn)檫@一學(xué)期下來(lái),我就只認(rèn)真做了一些老師布置的作業(yè),沒(méi)有深入的學(xué)習(xí)、研討這門課程,而且所獲得的知識(shí)也有點(diǎn)支離破碎的感覺(jué),很難將它們連貫起來(lái)。但有一點(diǎn)是肯定的,我確實(shí)從這門課程中收獲了一些東西,它對(duì)我思維能力的培養(yǎng)確實(shí)起了很大的作用。例如數(shù)學(xué)直覺(jué)思維、發(fā)散思維、逆向思維。1培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維直覺(jué)思維是一種敏銳快速的綜合思維,它常常是

8、創(chuàng)造性思維的前奏,它既需要知識(shí)組塊和邏輯推理的支持,也需要形象經(jīng)驗(yàn)和似真推理的推動(dòng),在教學(xué)過(guò)程中可以從以下幾方面來(lái)培養(yǎng)直覺(jué)思維.首先,解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要教會(huì)學(xué)生從客觀上進(jìn)行整體分析,抓住問(wèn)題的框架結(jié)構(gòu)與體系關(guān)系,從思維策略的角度確定解題的人手方向或總

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