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1、課后答案網(wǎng)www.khdaw.com《初等數(shù)論》習題集第1章第1節(jié)1.證明定理1。2.證明：若m?p?mn+pq，則m?p?mq+np。3.證明：任意給定的連續(xù)39個自然數(shù)，其中至少存在一個自然數(shù)，使得這個自然數(shù)的數(shù)字和能被11整除。3n，則n4.設p是n的最小素約數(shù)，n=pn1，n1>1，證明：若p>1是素數(shù)。5.證明：存在無窮多個自然數(shù)n，使得n不能表示為2a+p（a>0是整數(shù)，p為素數(shù)）的形式。第2節(jié)4321.證明：12?n+2n+11n+10n，n∈Z。222.設3?a+b，證明：3?a且3?b。kk+43.設n，k是正整數(shù)
2、，證明：n與n的個位數(shù)字相同。2224.證明：對于任何整數(shù)n，m，等式n+(n+1)=m+2不可能成立。425.設a是自然數(shù)，問a?3a+9是素數(shù)還是合數(shù)？6.證明：對于任意給定的n個整數(shù)，必可以從中找出若干個作和，使得這個和能被n整除。第3節(jié)1.證明定理1中的結(jié)論(ⅰ)—(ⅳ)。2.證明定理2的推論1,推論2和推論3。3.證明定理4的推論1和推論3。4.設x，y∈Z，17?2x+3y，證明：17?9x+5y。225.設a，b，c∈N，c無平方因子，a?bc，證明：a?b。132n?16.設n是正整數(shù)，求C2n,C2n,L,C2n的
3、最大公約數(shù)。第4節(jié)1.證明定理1。2.證明定理3的推論。3.設a，b是正整數(shù)，證明：(a+b)[a,b]=a[b,a+b]。4.求正整數(shù)a，b，使得a+b=120，(a,b)=24，[a,b]=144。1課后答案網(wǎng)www.khdaw.com5.設a，b，c是正整數(shù)，證明：22[a,b,c](a,b,c)=。[a,b][b,c][c,a](a,b)(b,c)(c,a)kkk6.設k是正奇數(shù)，證明：1+2+L+9?1+2+L+9。第5節(jié)1.說明例1證明中所用到的四個事實的依據(jù)。2.用輾轉(zhuǎn)相除法求整數(shù)x，y，使得1387x?162y=(1
4、387,162)。3.計算：(27090,21672,11352)。4.使用引理1中的記號，證明：(Fn+1,Fn)=1。5.若四個整數(shù)2836，4582，5164，6522被同一個大于1的整數(shù)除所得的余數(shù)相同，且不等于零，求除數(shù)和余數(shù)各是多少？n6.記Mn=2?1，證明：對于正整數(shù)a，b，有(Ma,Mb)=M(a,b)。第6節(jié)1.證明定理1的推論1。2.證明定理1的推論2。3.寫出22345680的標準分解式。4.證明：在1,2,L,2n中任取n+1數(shù)，其中至少有一個能被另一個整除。115.證明：1++L+（n≥2）不是整數(shù)。2n
5、6.設a，b是正整數(shù)，證明：存在a1，a2，b1，b2，使得a=a1a2，b=b1b2，(a2,b2)=1，并且[a,b]=a2b2。第7節(jié)1.證明定理1。k2.求使12347!被35整除的最大的k值?！辬+2r?13.設n是正整數(shù)，x是實數(shù)，證明：∑[]=n。rr=124.設n是正整數(shù)，求方程222x?[x]=(x?[x])在[1,n]中的解的個數(shù)。5.證明：方程2345f(x)=[x]+[2x]+[2x]+[2x]+[2x]+[2x]=123452課后答案網(wǎng)www.khdaw.com沒有實數(shù)解。6.證明：在n!的標準分解式中，2
6、的指數(shù)h=n?k，其中k是n的二進制表示的位數(shù)碼之和。第8節(jié)n1.證明：若2+1是素數(shù)，則n是2的乘冪。n2.證明：若2?1是素數(shù)，則n是素數(shù)。3.證明：形如6n+5的素數(shù)有無限多個。4.設d是正整數(shù)，6/
7、d，證明：在以d為公差的等差數(shù)列中，連續(xù)三項都是素數(shù)的情況最多發(fā)生一次。5.證明：對于任意給定的正整數(shù)n，必存在連續(xù)的n個自然數(shù)，使得它們都是合數(shù)。∞16.證明：級數(shù)∑發(fā)散，此處使用了定理1注2中的記號。n=1pn第2章第1節(jié)1.證明定理1和定理2。2.證明定理4。3.證明定理5中的結(jié)論(ⅰ)—(ⅳ)。12344.求8被13除的
8、余數(shù)。5.設f(x)是整系數(shù)多項式，并且f(1),f(2),L,f(m)都不能被m整除，則f(x)=0沒有整數(shù)解。6.已知99?62αβ427，求α與β。第2節(jié)1.證明定理1。2.證明：若2p+1是奇素數(shù)，則2p(p!)+(?1)≡0(mod2p+1)。3.證明：若p是奇素數(shù)，N=1+2+L+(p?1)，則(p?1)!≡p?1(modN)。4.證明Wilson定理的逆定理：若n>1，并且(n?1)!≡?1(modn)，則n是素數(shù)。5.設m是整數(shù)，4?m，{a1,a2,L,am}與{b1,b2,L,bm}是模m的兩個完3課后答案網(wǎng)ww
9、w.khdaw.com全剩余系，證明：{a1b1,a2b2,L,ambm}不是模m的完全剩余系。6.設m1,m2,L,mn是兩兩互素的正整數(shù)，δi（1≤i≤n）是整數(shù)，并且δi≡1(modmi)，1≤i≤n，δi≡0(modmj)，i
