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1、初等數(shù)論考試試卷1一、單項選擇題(每題3分，共18分)1、如果，，則().ABCD2、如果，，則15（）.A整除B不整除C等于D不一定3、在整數(shù)中正素數(shù)的個數(shù)（）.A有1個B有限多C無限多D不一定4、如果,是任意整數(shù),則ABCTD5、如果(),則不定方程有解.ABCD6、整數(shù)5874192能被()整除.A3B3與9C9D3或9二、填空題(每題3分，共18分)7、素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（）.8、同余式有解的充分必要條件是().9、如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為().10
2、、如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者().11、的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的().12、如果是兩個正整數(shù),則存在()整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分)13、求[136,221,391]=?14、求解不定方程.15、解同余式.16、求,其中563是素數(shù).（8分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)17、證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù).18、證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.19、證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.試卷1答案一、單項選擇題(每題3
3、分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空題(每題3分，共18分)7、素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（唯一的）.8、同余式有解的充分必要條件是().9、如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為().10、如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者(與互素).11、的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的(倍數(shù)).12、如果是兩個正整數(shù),則存在(唯一)整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解[136,221,391]=[[136,221
4、],391]=[]=[1768,391]------------(4分)==104391=40664.------------（4分）14、求解不定方程.（8分）解：因為（9，21）=3，，所以有解；----------------------------（2分）化簡得；-------------------（1分）考慮，有，-------------------（2分）所以原方程的特解為，-------------------（1分）因此，所求的解是。-------------------（2
5、分）15、解同余式.（8分）解因為(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的個數(shù)為3.----------（1分）又同余式等價于,即.------------（1分）我們利用解不定方程的方法得到它的一個解是(10,3),----------（2分）即定理4.1中的.------（1分）因此同余式的3個解為,---------（1分）,-----------------（1分）.---------（1分）16、求,其中563是素數(shù).（8分）解把看成Jacobi符號,我們有----------
6、-----（3分）----------------------（2分）,-----------------（2分）即429是563的平方剩余.---------------（1分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)17、證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù).(10分)證明因為==,------（3分）而且兩個連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù),3個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù),-----（2分）并且(2,3)=1,-----（1分）所以從和有,-----（3分）即是整數(shù).-----（
7、1分）18、證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.（11分）證明因為,-------------（3分）所以只需證明T.而我們知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2構(gòu)成,所以這只需將n=0,±1,±2代入分別得值1，7，1，19，7.對于模5,的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余,所以T---------（7分）所以相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除。--------（1分）19、證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.（11分）證明設(shè)是正數(shù),并且,----------（3分）如果
8、,---------（1分）則因為對于模4,只與0,1,2,-1等同余,所以只能與0,1同余,所以,---------（4分）而這與的假設(shè)不符,---------（2分）即定理的結(jié)論成立.------（1分）初等數(shù)論考試試卷二一、單項選擇題1、（）.ABCD02、如果，則=（）.ABCD3、小于30的素數(shù)的個數(shù)（）.A10B9C8D74、如果,是任意整數(shù),則ABCTD5、不定方程（）.A有解B無解C有正數(shù)解D有負(fù)數(shù)解6、整數(shù)5874192能被()整除.A3B3與9C9D3或97、如果，，則().
