排列、組合、概率與統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題

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1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題（第十章排列、組合、概率與統(tǒng)計(jì)）排列與組合1．分類計(jì)數(shù)原理:完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=n1+n2+n3+…+nM種不同的方法．2.分步計(jì)數(shù)原理:完成一件事,需要分成n個(gè)步驟,做第一步有種不同的方法,做第二步有種不同的方法,……,做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=n1·n2·n3·…nM種不同的方法．注：分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來直接解題。它們的共同點(diǎn)都是把一個(gè)事件分

2、成若干個(gè)分事件來進(jìn)行計(jì)算。只不過利用分類計(jì)算原理時(shí)，每一種方法都獨(dú)立完成事件；如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計(jì)數(shù)原理，重在分“類”，類與類之間具有獨(dú)立性和并列性；利用分步計(jì)數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性.比較復(fù)雜的問題，常先分類再分步。3.⑴排列的定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.⑵排列數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.其中n，m∈，并且m≤n．⑶排

3、列數(shù)公式:當(dāng)m=n時(shí)，排列稱為全排列，排列數(shù)為=記為n!,且規(guī)定O!=1.注：;4.⑴組合的定義:從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.⑵組合數(shù)的定義:從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)表示.⑶組合數(shù)公式:.規(guī)定，其中m，n∈N+，m≤n.注:排列是“排成一排”，組合是“并成一組”,前者有序而后者無序.排列與組合⑷組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):①從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的.

4、②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有C種，依分類原理有.5．解排列、組合題的基本策略與方法(Ⅰ)排列、組合問題幾大解題方法：①直接法;②排除法;③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”

5、.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法.解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有種排列方法.(Ⅱ)排列組合常見解題策略：①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選

6、元素，后排列）；④正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略.6.二項(xiàng)式定理:⑴對(duì)于，,這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的展開式.注:展開式具有以下特點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)；系數(shù)：依次為組合數(shù)且每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開.⑵二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：的展開式第r+1為.⑶二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).①二項(xiàng)展開式中的叫做二項(xiàng)式系數(shù)第13頁第14頁②在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相

7、等；即排列與組合③二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大且當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)系數(shù)是逐漸增大，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的．(Ⅰ)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),中間項(xiàng)是第項(xiàng),它的二項(xiàng)式系數(shù)最大;(Ⅱ)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間項(xiàng)為兩項(xiàng),即第項(xiàng)和第項(xiàng),它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大.④系數(shù)和：所有二項(xiàng)式系數(shù)的和：;奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和＝偶數(shù)項(xiàng)而是系數(shù)的和:.⑤⑷如何來求展開式中含的系數(shù)呢？其中且把視為二項(xiàng)式，先找出含有的項(xiàng)，另一方面在中含有的項(xiàng)為，故在中含的項(xiàng)為.其系數(shù)為.⑸二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：解決有關(guān)近似計(jì)算、整除問題，運(yùn)用二項(xiàng)展開式定理并且結(jié)合放縮法證