6.2 洛必塔法則

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1小結(jié)思考題作業(yè)6.2洛必達(dá)法則洛必達(dá)(L‘Hospital)法國(guó)數(shù)學(xué)家(1661-1705)第6章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 2其極限都不能直接利用極限運(yùn)算法則來(lái)求.在第2.4節(jié)看到,之商,那末極限型未定式.或如,意味著關(guān)于它的極限不能確定出一般的未定不能確定.而并不是在確定的情況下關(guān)于它的極限結(jié)論,兩個(gè)無(wú)窮小之商或兩個(gè)無(wú)窮大兩個(gè)函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零或趨于無(wú)窮大,稱為 3這一節(jié)介紹一個(gè)求未定式極限的有效方法,此方法的關(guān)鍵是將的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的計(jì)算.其基本思想是由微積分著名先驅(qū),從而產(chǎn)生了簡(jiǎn)洛必達(dá)法則.后人對(duì)他的思想作了推廣,提出的,17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)(L‘Hospital)便而重要的 4定理6.2設(shè)函數(shù)f(x)及F(x)滿足條件:(2)f(x),F(x)在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點(diǎn)a處可除外),則 5證則由條件(1),必有可補(bǔ)充定義若f(x),F(x)在點(diǎn)a連續(xù),若f(x),F(x)在點(diǎn)a不連續(xù),任取點(diǎn)x,f(x),F(x)滿足:1)在[a,x]上連續(xù);2)在(a,x)內(nèi)可導(dǎo),(2)f(x),F(x)在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點(diǎn)a處可除外), 6柯西定理所以 7注…(多次用法則)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)法則成立.洛必達(dá)法則. 8例解 9例解洛必達(dá)法則因?yàn)?10定理6.3則證則等價(jià)于用定理6.2設(shè)有 11注定理6.3仍成立;例解 12解練習(xí)先化簡(jiǎn) 13例解注例解n次 14解考研數(shù)學(xué)(三,四)填空4分練習(xí)定理2.15有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. 15例解極限不存在洛必達(dá)法則失效.洛必達(dá)法則的使用條件.注用法則求極限有兩方面的局限性當(dāng)導(dǎo)數(shù)比的極限不存在時(shí),不能斷定函數(shù)其一,這時(shí)不能使用洛必達(dá)法則.?比的極限不存在,不存在不存在. 16可能永遠(yuǎn)得不到結(jié)果!分子,分母有單項(xiàng)無(wú)理式時(shí),不能簡(jiǎn)化.如其實(shí):杜波塔托夫的一個(gè)著名例子.其二用法則求極限有兩方面的局限性 17用洛必達(dá)法則應(yīng)注意的事項(xiàng)才可能用法則,則可一直用下去;(3)每用完一次法則,要將式子整理化簡(jiǎn);(4)為簡(jiǎn)化運(yùn)算經(jīng)常將法則與等價(jià)無(wú)窮小及極限(2)在用法則之前,式子是否能先化簡(jiǎn);只要是的其它性質(zhì)結(jié)合使用.(5)極限式中含有不能用法則;極限式中含有不能用法則. 18例解原式分子分母同除以x 19考研數(shù)學(xué)(二),解答題,9分練習(xí)解洛洛求極限 2009年考研數(shù)學(xué)(三),填空題,4分練習(xí)解 21考研數(shù)學(xué)(一、二、三),選擇題,4分是等價(jià)無(wú)窮小,則練習(xí)解洛洛 22練習(xí)考研數(shù)學(xué)(二)10分解求極限法一用法則 23練習(xí)解求極限法二考研數(shù)學(xué)(二)10分 24解練習(xí)考研數(shù)學(xué)二、三(選擇4分)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為當(dāng)x取任何整數(shù)時(shí),f(x)均無(wú)意義.故f(x)的間斷點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè),但可去間斷點(diǎn)為極限存在的點(diǎn),故應(yīng)是的解洛洛洛 25例解關(guān)鍵將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型 26例解 27練習(xí)考研數(shù)學(xué)(三,四)8分解求用法則用法則 28例解三、型未定式 29例解注或?qū)懗善渲惺侵笖?shù)函數(shù)的一種表示方式.exponent 30例解考研數(shù)學(xué)一,5分還有別的方法嗎? 31練習(xí)均為正數(shù).解法一 32解法二均為正數(shù). 33考研數(shù)學(xué)(一),12分設(shè)數(shù)列{xn}滿足練習(xí)(Ⅰ)(Ⅱ)證明存在,并求該極限;計(jì)算解(Ⅰ)用歸納法證明{xn}單調(diào)下降且有下界.設(shè)則所以{xn}單調(diào)下降且有下界,得所以即 34(Ⅱ)計(jì)算因?yàn)橛钟?Ⅰ)所以 35例解求數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)的未定式的極限!由于是中的一種特殊情況,所以有不能用洛必達(dá)法則! 36四、小結(jié)一、二、三、注意但求某些未定式極限不要單一使用洛應(yīng)將所學(xué)方法綜合運(yùn)用.尤其是下述兩種可使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化.各類未定式極限問(wèn)題,洛必達(dá)法則是最常用的工具,必達(dá)法則,三大類未定式方法, 37(1)存在極限為非零的因子,(2)凡乘積或商的非零無(wú)窮小因式,務(wù)必記住常用的等價(jià)無(wú)窮小.可根據(jù)積的極限運(yùn)算法則先求出其極限.可先用簡(jiǎn)單形式的等價(jià)無(wú)窮小替換. 38思考題問(wèn)上述做法是否正確? 39思考題解答非正確的做法是不一定存在. 40作業(yè)習(xí)題6.2(207頁(yè))