函數(shù)的極值、最值及應(yīng)用

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1、教考資源網(wǎng)助您教考無憂一.教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的極值、最值及應(yīng)用二、本周教學(xué)目標(biāo)：1、理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2、了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號）；3、會求一些實(shí)際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值．三、本周知識要點(diǎn)：1、極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，記作y極大值=f（x0），x0是極大值點(diǎn)．2、極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的

2、點(diǎn)，都有f（x）＞f（x0）就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，記作y極小值=f（x0），x0是極小值點(diǎn)．3、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值（?。O值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最?。áⅲ┖瘮?shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以不止一個(gè)．（ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值．（ⅳ）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能

3、在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．4、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值．5、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）．（2）求方程f′（x）=0的根．（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（

4、x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個(gè)根處無極值6、函數(shù)的最大值和最小值：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值．（1）在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．（2）函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間版權(quán)所有@中國教育考試資源網(wǎng)教考資源網(wǎng)助您教考無憂上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有．7、利用導(dǎo)數(shù)

5、求函數(shù)的最值步驟：⑴求在內(nèi)的極值；⑵將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值．8、利用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟．（1）求（x）．（2）確定（x）在（a，b）內(nèi)符號．（3）若（x）>0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)；若（x）<0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)．9、用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟．（1）求（x）（2）（x）>0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（x）<0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【典型例題】例1、求函數(shù)的極值：解：令，得駐點(diǎn)-11-0

6、+0-↘極小↗極大↘當(dāng)時(shí)，極小=-3；當(dāng)時(shí)，極大=-1值．例2、設(shè)f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1處有極小值－1，試求a、b的值，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．剖析：由已知x=1處有極小值－1，點(diǎn)（1，－1）在函數(shù)f（x）上，得方程組解之可得a、b．解：（x）=3x2－6ax+2b，由題意知即解之得a=，b=－版權(quán)所有@中國教育考試資源網(wǎng)教考資源網(wǎng)助您教考無憂此時(shí)f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1）當(dāng)（x）>0時(shí)，x>1或x<－，當(dāng)（x）<0時(shí)，－

7、－∞，－）和（1，+∞），減區(qū)間為（－，1）點(diǎn)評：極值點(diǎn)、最值點(diǎn)這些是原函數(shù)圖象上常用的點(diǎn)．例3、設(shè)為自然對數(shù)的底，a為常數(shù)且），取極小值時(shí)，求x的值解：令（1），由表x（－∞，2）2f′（x）+0－0+f（x）↗極大值↘極小值↗取極小值（2）無極值（3）時(shí)，由表x（－∞，－）2f′（x）+0－0+f（x）↗極大值↘極小值↗版權(quán)所有@中國教育考試資源網(wǎng)教考資源網(wǎng)助您教考無憂．例4、設(shè)函數(shù)f（x）=－ax，其中a＞0，求a的范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)分析：要使f（x）在上是單調(diào)函數(shù)，只需f′（x）在上恒正或恒負(fù)即可

8、解：f′（x）=－a．當(dāng)x＞0時(shí)，因?yàn)閍＞0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）=－a在上恒小于0，此時(shí)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)點(diǎn)評：要使f（x）在（a，b）上單調(diào)，只需f′（x）在（a，b）上恒正或恒負(fù)，即f′（x）＞0（或＜0＝單調(diào)遞增（或減）．例5、用總長148m的鋼條制作一個(gè)長方體容器