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《線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、第三章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.1概述如果在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不可能付諸于工程實(shí)施的。因此，穩(wěn)定性問題是系統(tǒng)控制理論研究的一個(gè)重要課題。對(duì)于線性系統(tǒng)而言，其響應(yīng)總可以分解為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，因而人們習(xí)慣分別討論這兩種響應(yīng)的穩(wěn)定性，從而外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的概念。應(yīng)用于線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法很多。然而，對(duì)于非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，這些穩(wěn)定性分析方法實(shí)現(xiàn)起來可能非常困難，甚至是不可能的。李雅普
2、諾夫(A.M.Lyapunov)穩(wěn)定性分析是解決非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的一般方法。本章首先介紹外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的概念及其相互關(guān)系，然后介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的概念及其判別方法，最后介紹線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。雖然在非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題中，Lyapunov穩(wěn)定性分析方法具有基礎(chǔ)性的地位，但在具體確定許多非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，卻并不是直截了當(dāng)?shù)?。技巧和?jīng)驗(yàn)在解決非線性問題時(shí)顯得非常重要。在本章中，對(duì)于實(shí)際非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析僅限于幾種簡(jiǎn)單的情況。3.2外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性3.2.1外部穩(wěn)定：考慮一個(gè)線性因果系統(tǒng)，如果對(duì)一個(gè)有界輸入u（t
3、），即滿足條件：的輸入u（t），所產(chǎn)生的輸出y（t）也是有界的，即使得下式成立：則稱此因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，即BIBO（BoundedInputBoundedOutput）穩(wěn)定。注意：在討論外部穩(wěn)定性的時(shí)候，我們必須要假定系統(tǒng)的初始條件為零，只有在這種假定下面，系統(tǒng)的輸入—輸出描述才是唯一的和有意義的。系統(tǒng)外部穩(wěn)定的判定準(zhǔn)則系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性可根據(jù)脈沖響應(yīng)矩陣或者傳遞函數(shù)矩陣來進(jìn)行判別。a)時(shí)變情況的判定準(zhǔn)則對(duì)于零初始條件的線性時(shí)變系統(tǒng)，設(shè)為脈沖響應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件是，存在一個(gè)有限常數(shù)k，使對(duì)于一切的每一個(gè)元即，是絕對(duì)可積的。b)定
4、常情況下的判定準(zhǔn)則：對(duì)于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，初始時(shí)刻t0=0,G(t)為脈沖響應(yīng)矩陣，G(s)為傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件是，存在一個(gè)有限常數(shù)k，G(t)的每一個(gè)元當(dāng)G(s)為真的有理分式函數(shù)矩陣時(shí)，G(s)的每一個(gè)傳遞函數(shù)g（s）的所有零極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。對(duì)于一個(gè)定常線性系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣為：。因此，只要滿足系統(tǒng)的全部特征根具有負(fù)實(shí)部根，則系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。3.2.2內(nèi)部穩(wěn)定性對(duì)于線性定常系統(tǒng)如果外部輸入u（t）為0，初始狀態(tài)x0為任意，且由x0引起的零輸入響應(yīng)滿足：則稱系統(tǒng)實(shí)內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱為是漸進(jìn)穩(wěn)定的。判定準(zhǔn)則：對(duì)于
5、系統(tǒng)，其解為。因此，對(duì)于上面所列的狀態(tài)空間表達(dá)，它的漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的所有特征值具有負(fù)實(shí)部。3.2.3內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間的關(guān)系對(duì)線性定常系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定的等價(jià)關(guān)系，得出如下結(jié)論：1.線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則其必為BIBO穩(wěn)定的。2.線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，不一定就是內(nèi)部穩(wěn)定的。3.線性定常系統(tǒng)是能控制和能觀測(cè)的，則其內(nèi)部穩(wěn)定性和BIBO穩(wěn)定是等價(jià)的。圖3.1外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定的關(guān)系3.3Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題對(duì)于一個(gè)給定的控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性分析通常是最重要的。如果系統(tǒng)是線性定常的，那么有許多穩(wěn)定性判據(jù)，
6、如Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)和Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)等可資利用。然而，如果系統(tǒng)是非線性的，或是線性時(shí)變的，則上述穩(wěn)定性判據(jù)就將不再適用。Lyapunov第二法（也稱Lyapunov直接法）是確定非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)的最一般的方法。反過來，這種方法也可適用于線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。李雅普諾夫穩(wěn)定分析法是確定時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性更一般的方法，這種方法可以在無需求解狀態(tài)方程的條件下，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.3.1基本概念a)平衡狀態(tài)忽略輸入后，非線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程：為n維狀態(tài)向量；t為時(shí)間變量；為n維函數(shù)），其展開式為：如果對(duì)于所
7、有t，滿足的狀態(tài)xe稱為平衡狀態(tài)（又稱為平衡點(diǎn)）。如果系統(tǒng)是線性定常的，也就是說，則當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)唯一的平衡狀態(tài)；當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)將存在無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的常值解（對(duì)所有t，總存在）。任意一個(gè)孤立的平衡狀態(tài)（即彼此孤立的平衡狀態(tài)）或給定運(yùn)動(dòng)都可通過坐標(biāo)變換，統(tǒng)一化為擾動(dòng)方程之坐標(biāo)原點(diǎn)，即或。在本章中，除非特別申明，我們將僅討論擾動(dòng)方程關(guān)于原點(diǎn)()處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題。這種“原點(diǎn)穩(wěn)定性問題”由于使問題得到極大簡(jiǎn)化，而不會(huì)喪失一般性，從而為穩(wěn)定性理論的建立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)
8、，這是Lyapunov的一個(gè)重要貢獻(xiàn)?？刂葡到y(tǒng)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是關(guān)于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，
