簡單的論述哈密頓原理

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1、簡單的論述哈密頓原理摘要：證明力積分變量與變分無關(guān)的情況下積分運(yùn)算與變分運(yùn)算次序的可交換性，從不同角度論述了哈密頓原理的含義。關(guān)鍵詞：哈密頓原理，拉格朗日函數(shù)，變分，拉格朗日方程1.引言哈密頓原理是分析力學(xué)中幾個(gè)重要原理之一，但它不是一個(gè)獨(dú)立原理，它可已從其他原理推導(dǎo)出來，因而可以從不同角度說明它的物理含義。一般理論力學(xué)教材都是在拉格朗日方程兩邊同時(shí)乘以虛位移求所有自由度下的虛功之和，然后再求從位形1即(到位形2，即(之間或時(shí)間至之間的作用量得出，最后變換成，并沒有說明最后一步為什么要那樣做，也沒有說明那樣做的意義。本文先證明當(dāng)積分變量與變分無關(guān)的條件

2、下積分運(yùn)算與變分運(yùn)算次序的可交換性，然后再從不同角度論述哈密頓原理的意義。2.理論2.1變分運(yùn)算與積分運(yùn)算次序的可交換性假定變量由一個(gè)或一組函數(shù)的選取而確定，則變量稱為函數(shù)的泛函，記作［］。泛函由n個(gè)函數(shù)的形式確定，是函數(shù)的“函數(shù)”。泛函與函數(shù)的概念略有不同，函數(shù)中的變量是可以變化的數(shù)值，而對于泛函處于自變量地位的是形式可以變化的函數(shù)。下面舉例說明，如圖1中有，兩個(gè)固定點(diǎn)，連接兩個(gè)固定點(diǎn)之間的曲線的長度由下式確定，即顯然，依賴于函數(shù)的選取，若函數(shù)的形式發(fā)生變化，則曲線的形狀隨之變化，曲線的長度也隨之變化。長度就是的泛函。下面證明變分運(yùn)算與積分運(yùn)算順序的

3、可交換性，該泛函只依賴一個(gè)函數(shù)，即自變量為的函數(shù)表示為。函數(shù)的變分是函數(shù)的微變量，它與函數(shù)的微分有本質(zhì)有本質(zhì)的不同，函數(shù)的微分，粗略的講，它是由自變量的變化引起的。而函數(shù)的變分不是因?yàn)樽宰兞康淖兓?，它是來自函?shù)形式的變化引起，這種由于函數(shù)形式變化造成的函數(shù)的變化稱為函數(shù)的變分，記作。與函數(shù)臨近但形式與不同的函數(shù)有許多。假設(shè)這些函數(shù)可以表示為如下的形式：其中是非常小的參數(shù)，是任意給定的可微函數(shù)，因時(shí)，函數(shù)形式的變化決定于上式的第二項(xiàng)。因此函數(shù)的變分寫成引入（2）式的記法（1）可記為被積函數(shù)的形式是已知的，積分的上下限是固定的。當(dāng)函數(shù)的形式上發(fā)生變化時(shí)，泛

4、函就會(huì)發(fā)生變化，這種由于函數(shù)形式的變化引起泛函的變化就為泛函的變分，記作?，F(xiàn)將被積函數(shù)在處展開，并只保留線性部分，注意的變分不包含（3）式中的最后一項(xiàng)，因是由于處于自變量地位的的形式變化引起的，而不是因?yàn)閤變化引起的，故泛函的變分為而上式積分變量為，變分是由的形式變化引起，因此積分變量與變分無關(guān)時(shí)，積分次序與變分次序可以交換。哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為在（4）中代表體系的拉格朗日函數(shù)，其表達(dá)式為，即體系的動(dòng)能和勢能之差，哈密頓稱為作用函數(shù)，它的量綱為功和時(shí)間的乘積，單位為。當(dāng)它表示為端點(diǎn)時(shí)間和位置的函數(shù)時(shí)，也叫主函數(shù)，并以S表示。如圖2所示，滿足約束許可

5、條件的軌道有許多條。其中實(shí)線為真實(shí)軌道，而虛線為真實(shí)軌道附近只滿足約束所許可的條件，圖2只畫了一條。原理的含義為在約束所許可的許多條可能軌道中真實(shí)軌道的作用函數(shù)的變分為零。此原理給出了在衛(wèi)星1即(到位形2，即(之間真實(shí)軌道必須滿足的條件就是哈密頓原理。哈密頓原理是在拉格朗日方程的兩端同乘以然后對從1到S求和再對（6）從到積分，即因?yàn)榘眩?）代入（7）式得利用初始條件知（9）式左邊第一項(xiàng)為零，從而有因?yàn)椋?）式中積分變量為t，而變分是由L的形式變化引起，積分變量與變分無關(guān)，所以積分與變分的次序可以交換，即可得到（4）的結(jié)果。對于哈密頓原理的判斷：保守的，

6、完整的力學(xué)體系在相同時(shí)間內(nèi)，由某一初位形轉(zhuǎn)移到另一已知位形的一切可能運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)的主函數(shù)具有穩(wěn)定性。即對于真實(shí)運(yùn)動(dòng)來講，主函數(shù)的變分等于零賣。從數(shù)學(xué)角度結(jié)果無可非議，但大部分教材并沒有說明為什么要這樣做，也沒有說明哈密頓原理的物理含義，下面將從不同角度說明討論保守，完整體系哈密頓原理的必然性和深刻含義。2.2從不同角度理解哈密頓原理2.2.2從對拉格朗日方程的二次積分意義角度理解眾所周知，拉格朗日函數(shù)它是體系的動(dòng)能和勢能之差，它是體系的一個(gè)特性函數(shù)，表征者約束，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，相互作用等性質(zhì)。它的表達(dá)式中只含有廣義速度，廣義坐標(biāo)和時(shí)間，即　(（１１）式可

7、以看作拉格朗日方程的第一積分或首次積分。而可以看作拉格朗日方程的二次積分，積分的最終形式為（１３）式的C為積分常數(shù)。式實(shí)際上就是蘊(yùn)含體系運(yùn)動(dòng)規(guī)律的軌道方程，那么就在位形１和位形２之間從眾多約束所許可的可能軌道中挑選出真實(shí)軌道必有　，即真實(shí)軌道只有一條，所以真實(shí)軌道方程的變分為零。也就是（４）式所示的哈密頓原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。而且還可以把上式寫成微分形式，因?yàn)閷o定的體系，選定的廣義坐標(biāo)和給定的位形拉格朗日函數(shù)的嗎形式唯一，故哈密頓原理的變分形式可表示為。2.2.2從虛功角度理解拉格朗日方程（５）式的左端每一項(xiàng)的量綱都為廣義力，其意義為體系在主動(dòng)力和慣性力

8、的作用下，在非慣性系中作慣性運(yùn)動(dòng)或保持相對平衡。給（５）式的左端每一項(xiàng)乘以即（６）式，求出從位