微分中值定理及應(yīng)用綜述

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1、微分中值定理及應(yīng)用綜述謝娟09211045江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院徐州221116摘要：微分中值定理是一系列中值定理的總稱，是研究函數(shù)的有力工具，包括費(fèi)馬中值定理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個(gè)微分學(xué)的重要理論。它不僅溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，而且也是微分學(xué)理論應(yīng)用的橋梁和基石.本文對(duì)微分中值定理中的一些條件給予了相關(guān)說明，介紹了微分三大中值定理以及它們之間的關(guān)系，后又在此基礎(chǔ)上，綜述了微分中值定理在研究函數(shù)性質(zhì)，討論一

2、些方程零點(diǎn)（根）的存在性，和對(duì)極限的求解問題，以及一些不等式的證明.關(guān)鍵詞：微分中值定理；關(guān)系；應(yīng)用引言微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的局部性研究函數(shù)整體性的重要數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用十分廣泛.1淺談微分中值定理1.1微分中值定理的基本內(nèi)容微分中值定理是反映導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的聯(lián)系的定理,它們分別是羅爾定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具體內(nèi)容如下:1.1.1羅爾定理如果函數(shù)滿足:(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);(3)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等,即,那么在區(qū)間內(nèi)

3、至少有一點(diǎn),使函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零,即幾何分析在（圖1）中可見曲線在上是一條連續(xù)光滑的曲線,曲線在內(nèi)處處有切線且沒有垂直于軸的切線.在曲線的兩端點(diǎn)一般高(羅爾定理的三條件在平面幾何中成立),因而在內(nèi)曲線至少有一點(diǎn)處的切線平行于軸(羅爾定理的結(jié)論成立,).通過對(duì)羅爾定理的幾何分析,抽象的羅爾定理得到了具體化(這也反應(yīng)了數(shù)學(xué)的一般思想,抽象思維具體化)。對(duì)于我們理解和掌握羅爾定理大有幫助.8（圖1）1.1.2拉格朗日定理如果函數(shù)滿足:(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),那么在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn),使等

4、式成立.幾何意義從（圖2）可知,曲線在上是連續(xù)光滑的曲線(即拉格朗日定理的條件在幾何上的反映),那么曲線弧在上至少有一點(diǎn)的切線平行于弦AB(弦AB的斜率為,在處的切線平行于AB,則（圖2）81.1.3柯西中值定理如果函數(shù)及滿足:(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);(3)對(duì)任意，那么在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn),使等式成立.2三個(gè)定理之間的關(guān)系在拉格朗日定理中,如果,則變成羅爾定理;在柯西中值定理中,如果,則變成拉格朗日定理.因此,拉格朗日定理是羅爾定理的推廣,柯西中值定理是拉格朗日定理的推廣.反之,拉格朗

5、日定理是柯西中值定理的特例,羅爾定理是拉格朗日定理的特例。3微分中值定理的應(yīng)用微分中值定理主要是利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上所具有的特征去研究函數(shù)本身在該區(qū)間上的性質(zhì),在研究函數(shù)的性質(zhì)上是一個(gè)非常有利且方便的工具.中值定理的應(yīng)用主要是以中值定理為基礎(chǔ)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、取極值、拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性質(zhì).從而把握函數(shù)圖象的各種幾何特征.3.1討論方程零點(diǎn)（根）的存在性問題例、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),試證在內(nèi)，方程至少存在一個(gè)根.證明：令，顯然，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，而且根據(jù)羅爾定理，至少存在一個(gè)，使.故在內(nèi)，方程至少

6、存在一個(gè)根.由[10]中的例1，我們可以知道，在我們要討論的方程中，除了二次方程根的問題容易討論之外，如果遇到復(fù)雜的方程，往往無從下手時(shí)，對(duì)于存在性的問題，我們可以分析題設(shè)條件，結(jié)合已學(xué)過的定理進(jìn)行分析并解決.微分中值定理的條件很寬松，給一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)8，只需函數(shù)在這個(gè)區(qū)間連續(xù)、可導(dǎo)（并不要求區(qū)間端點(diǎn)可導(dǎo)），再加一些看似苛刻但實(shí)不苛刻的條件,用羅爾定理，就可以解決一些復(fù)雜的代數(shù)方程的判根問題，其步驟相當(dāng)簡(jiǎn)單，一般是：命題條件——構(gòu)造輔助函數(shù)——驗(yàn)證——驗(yàn)證滿足羅爾定理的條件——命題結(jié)論3.2求

7、解不定式的極限柯西中值定理的一個(gè)及其重要的應(yīng)用就是可以用來計(jì)算未定型的極限.（洛必達(dá)法則若函數(shù)和滿足：（i），；（ii）在點(diǎn)的某空心領(lǐng)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（iii）（A可為實(shí)數(shù)，也可以為或），則證補(bǔ)充定義，使得與在點(diǎn)處連續(xù)。任取，在區(qū)間（或）上應(yīng)用柯西中值定理，有即（介于與之間）當(dāng)令時(shí)，也有，故得注：若將其中換成，，，，只要相應(yīng)地修正條件（ii）中的條件，也可得到同樣的結(jié)論.我們?cè)谧屑?xì)觀察柯西中值定理里的表達(dá)式的形式，可以看到兩個(gè)函數(shù)式的比值，在一定條件下可以化成這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的比值，這樣就可能使得作

8、為未定型的分式的分子和分母所表示的函數(shù)，通過求導(dǎo)，而得到非未定型.由這個(gè)思路，我們即得到了洛必達(dá)法則.例．求解容易檢驗(yàn)與在點(diǎn)的條件下8滿足洛必達(dá)法則的條件，又因所以例.求解由洛必達(dá)法則有由[17]中的例2和[17]中的例3，我們可以看出，利用微分中值定理不但可以在理論分析和證明中有著十分重要的作用，而且它也為求某些較難的極限提供了一種簡(jiǎn)單而有效的方法，其方法就是對(duì)極限題中的某些部分使用拉格朗日定理，然后求出其極限，[4],[6],[10]中