復(fù)變函數(shù)與積分變換重點(diǎn)公式歸納

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1、復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)提綱第一章復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變數(shù)和復(fù)變函數(shù)二、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)極限連續(xù)第二章解析函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的概念。二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R方程判別復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性。掌握復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：三、初等函數(shù)重點(diǎn)掌握初等函數(shù)的計(jì)算和復(fù)數(shù)方程的求解。1、冪函數(shù)與根式函數(shù)單值函數(shù)(k=0、1、2、…、n-1)n多值函數(shù)2、指數(shù)函數(shù)：性質(zhì)：（1）單值.（2）復(fù)平面上處處解析，（3）以為周期3、對數(shù)函數(shù)（k=0、±1、±2……）性質(zhì)：（1）多值函數(shù),（2）除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸處外解析,（3）在單值解析分枝上:。4、三角函數(shù)：性質(zhì)：（1）單值（2）復(fù)平面上處處解析（

2、3）周期性（4）無界5、反三角函數(shù)（了解）反正弦函數(shù)8反余弦函數(shù)性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)相同。6、一般冪函數(shù)：（k=0、±1…）四、調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)：1)調(diào)和函數(shù):2)已知解析函數(shù)的實(shí)部（虛部），求其虛部（實(shí)部）有三種方法：a）全微分法b）利用C-R方程c）不定積分法第三章解析函數(shù)的積分一、復(fù)變函數(shù)的積分存在的條件。二、復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1、沿路徑積分：利用參數(shù)法積分，關(guān)鍵是寫出路徑的參數(shù)方程。2、閉路積分：a)利用留數(shù)定理，柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式。b)利用參數(shù)積分方法三、柯西積分定理：推論1：積分與路徑無關(guān)推論2：利用原函數(shù)計(jì)算積分推論3：二連通區(qū)域上的柯西定理推論

3、4：復(fù)連通區(qū)域上的柯西定理四、柯西積分公式：8五、高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)：l解析函數(shù)在任一點(diǎn)的值可以通過函數(shù)沿包圍點(diǎn)的任一簡單閉合回路的積分表示。l解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本章重點(diǎn)：掌握復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法沿路徑積分1）利用參數(shù)法積分2）利用原函數(shù)計(jì)算積分。閉路積分利用留數(shù)定理計(jì)算積分。第四章解析函數(shù)的級數(shù)一、冪級數(shù)及收斂半徑：1、一個(gè)收斂半徑為R（≠0）的冪級數(shù)，在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)是解析函數(shù)，在這個(gè)收斂圓內(nèi)，這個(gè)展開式可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)，即有：2、收斂半徑的計(jì)算方法1）比值法：2）根值法：二、泰勒（Taylor）級數(shù)1、如函數(shù)在圓域內(nèi)解析，那么在此圓域內(nèi)可以

4、展開成Taylor級數(shù)1）展開式是唯一的。故將函數(shù)在解析點(diǎn)的鄰域中展開冪級數(shù)一定是Taylor級數(shù)。2)收斂半徑是展開點(diǎn)到的所有奇點(diǎn)的最短距離。3）展開式的系數(shù)可以微分計(jì)算：4）解析函數(shù)可以用Taylor級數(shù)表示。82、記住一些重要的泰勒級數(shù)：1）2）3）4）三、羅蘭（Laurent）級數(shù)如果函數(shù)在圓環(huán)城內(nèi)解析，則=（n=0、±1、±2……）1、展開式是唯一的，即只要把函數(shù)在圓環(huán)城內(nèi)展開為冪級數(shù)即為Laurent級數(shù)。2、展開式的系數(shù)是不可以利用積分計(jì)算。利用已知的冪級數(shù)，通過代數(shù)運(yùn)算把函數(shù)展開成Laurent級數(shù)。3、注意展開的區(qū)域，在展開點(diǎn)的所有解析區(qū)域展開。四、孤立奇點(diǎn)1

5、、定義：若b是的孤立奇點(diǎn)，則在內(nèi)解析。在此點(diǎn)可展開為羅蘭級數(shù)，=2、分類：孤立奇點(diǎn)把函數(shù)在奇點(diǎn)的去心鄰域中展開為羅蘭級數(shù)，求解C-13、極點(diǎn)留數(shù)計(jì)算a)如果b是的一階極點(diǎn)，則b)如果b是的m階極點(diǎn)，則c)如b是的一階極點(diǎn)，且P(b)≠0，那么8d)e)若是的可去奇點(diǎn)，并且，關(guān)系：全平面留數(shù)之和為零。本章重點(diǎn)：函數(shù)展開成Taylor級數(shù)，并能寫出收斂半徑。函數(shù)在解析圓環(huán)城內(nèi)展開成Laurent級數(shù)。孤立奇點(diǎn)（包含點(diǎn)）的判定及其留數(shù)的計(jì)算。第五章留數(shù)定理的應(yīng)用一、條件：（1）R(sinq，cosq)為cosq與sinq的有理函數(shù)（2）R(?)在[0，2p]或者[-p，p]上連續(xù)。令

6、，則，，。注意留數(shù)是計(jì)算單位圓中的奇點(diǎn)。二、條件：（1）是x的多項(xiàng)式。（2）（3）分母階次比分子階次至少高二次則是在上半平面的奇點(diǎn)。三、（）條件：（1），且比至少高一階，（2），（3）8，重點(diǎn)關(guān)注第一和第三種類型第七章Fourier變換一、傅立葉變換二、函數(shù)的傅立葉變換?.三、一些傅立葉變換及逆變換??四、性質(zhì)：?1、相似性質(zhì)?2、?延遲性質(zhì)?位移性質(zhì)3、微分性質(zhì)????4、積分性質(zhì)?由Fourier變換的微分和積分性質(zhì)，我們可以利用Fourier變換求解微積分方程。四、卷積和卷積定理8??＊五、三維Fourier變換及反演本章重點(diǎn)：利用定義計(jì)算Fourier變換第八章Lapl

7、ace變換一、拉普拉斯變換?二、幾個(gè)重要的拉普拉斯變換及逆變換??????????四、拉普拉斯變換的性質(zhì)1、?2、?3、???4、?8?五、卷積：?六、Laplace反演七、Laplace逆變換（1）部分分式法（2）卷積定理（3）Laplace反演公式（留數(shù)定理）（4）利用Laplace變換的性質(zhì)八、利用Laplace變換求解微積分方程（1）對方程取Laplace變換，得到象函數(shù)的代數(shù)方程（2）解代數(shù)方程，得到像函數(shù)的表達(dá)式（3）求像函數(shù)的拉普拉斯逆變換微分方程像函數(shù)的代數(shù)方程像函數(shù)像原函數(shù)