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1、數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)報(bào)告專業(yè)課程設(shè)計(jì)成績(jī)?cè)u(píng)定書指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)成績(jī)：指導(dǎo)教師時(shí)間：答辯小組意見(jiàn)設(shè)計(jì)成績(jī)：答辯組長(zhǎng)：12審定系主任：題目：用熟悉的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編程上機(jī)完成（1）用Newton-Cotes公式計(jì)算積分的近似值，自己設(shè)置不同精度要求，對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較分析。（2）用Romberg積分法計(jì)算積分的近似值，自己設(shè)置不同精度要求，對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較分析；與（1）的結(jié)果進(jìn)行比較分析，談?wù)勀愕捏w會(huì)。（3）記，在上面的計(jì)算中只取4位有效數(shù)字或7位有效數(shù)字，計(jì)算結(jié)果有什么不同。（4）上面計(jì)算精度可達(dá)8-20位有效數(shù)字嗎？若可以請(qǐng)說(shuō)明實(shí)現(xiàn)過(guò)程，并舉
2、例。一．摘要：在matlab環(huán)境下熟悉的運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言并結(jié)合Newton-Cotes和Romberg的理論基礎(chǔ)對(duì)函數(shù)求積分，在運(yùn)行完程序后以及對(duì)運(yùn)行結(jié)果做出各方面的分析和比較。二．實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)目地用熟悉的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編程上機(jī)完成Newton-Cotes公式計(jì)算積分和Romberg積分法計(jì)算積分。三．Newton-Cotes和Romberg的理論基礎(chǔ)牛頓柯斯特公式12：設(shè)將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等份，步長(zhǎng)h=（b-a）/n,選取等距節(jié)點(diǎn)=a+kh構(gòu)造出的插值型求積分公式I，稱為牛頓—柯斯特（Newton-Cotes）公式，式
3、中稱為柯特斯系數(shù)，引進(jìn)變換x=a+th,則有龍貝格求積公式：（1）.梯形法的遞推化設(shè)將區(qū)間[a,b]分為n等份，共有n+1個(gè)分點(diǎn)，如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點(diǎn)增至2n+1個(gè)，我們將二分前后兩人積分值聯(lián)系起來(lái)加以考察，注意到每個(gè)子區(qū)間[]經(jīng)過(guò)二分只增加了一個(gè)分點(diǎn)，用復(fù)合梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為，注意，這里h=(b-a)/n代表二分前的步長(zhǎng)，將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得，從而利用上式可導(dǎo)出下列遞推分式：（2）.外推技巧從梯形公式出發(fā)，將區(qū)間[a,b]逐次二分可提高求積公式精度，當(dāng)[a,b]分為n等份I若記，當(dāng)區(qū)間[a
4、,b]分為2n等份時(shí)，則有，并且有I.(3).龍貝格算法將上述外推技巧得到的公式重新引入記號(hào)等從而可將上述公式定成統(tǒng)一形式經(jīng)過(guò)m(m=1.2.3……)次加速后，余項(xiàng)便取下列形式：12這方法通常稱為理查森外推加速方法。設(shè)以表示二分次后求得的梯形值，且以表示序列｛｝的m次加速值，則依遞推公式可得公式也稱為龍貝格算法，計(jì)算過(guò)程如下：ⅰ.取k=0,h=b-a,求令（k記區(qū)間[a,b]二分次數(shù)）ⅱ.求梯形值，即按遞推公式計(jì)算ⅲ.求加速值，按公式a逐個(gè)求出T表的第k行其余各元素T（j=1,2,…,k）.iv.若
5、T—T
6、<(預(yù)先設(shè)定的精
7、度)，則終止計(jì)算，并取TI；否則令k+1k轉(zhuǎn)（2）繼續(xù)計(jì)算.kh…0b-a…1①…2②③…3④⑤⑥…4⑦⑧⑨⑩……T表12表指出了計(jì)算過(guò)程，第2列h=給出了子區(qū)間長(zhǎng)度，i表示第i步外推.可以證明，如果f(x)充分光滑，那么T表每一列的元素及對(duì)角線元素均收斂到所要求的積分值I.四．程序代碼及運(yùn)行結(jié)果牛頓柯斯特求積分：functiony=mulNewtonCotes(a,b,m,n)fun=@(x)exp(-x.^2);xk=linspace(a,b,m+1)fori=1:ms(i)=NewtonCotes(fun,xk(i),
8、xk(i+1),n);endy=sum(s);function[y,Ck,Ak]=NewtonCotes(fun,a,b,n)%fun=@(x)exp(-x.^2)ifnargin==1[mm,nn]=size(fun);ifmm>=8errorendxk=fun(1,:);fk=fun(2,:);a=min(xk);b=max(xk);n=mm-1;endifnargin==412xk=linspace(a,b,n+1);ifisa(fun,'function_handle')fx=fun(xk);endendCk=cot
9、escoeff(n);Ak=(b-a)*Ck;y=Ak*fx';functionCk=cotescoeff(n)fori=1:n+1k=i-1;Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n);endfunctionf=intfun(t,n,k)f=1;fori=[0:k-1,k+1:n]f=f.*(t-i);end運(yùn)行結(jié)果>>y=mulNewtonCotes(0,1,2,1)xk=00.50001.000012y=0.73
10、14>>vpa(y,7)ans=.>>y=mulNewtonCotes(0,1,5,2)xk=00.20000.40000.60000.80001.0000y=0.7468>>vpa(y,7)ans=.>>龍貝格求積分functionz=romberg(a,b,e)12h=(b-a);f=
