高中教材變式題7：立體幾何

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1、高中教材變式題7——《立體幾何》1．（人教A版，必修2．P17．第4題）圖1是一個(gè)幾何體的三視圖，想象它的幾何結(jié)構(gòu)特征，并說(shuō)出它的名稱．圖1正視圖側(cè)視圖俯視圖變式題1．如圖1－1是一個(gè)幾何體的三視圖（單位：cm）（Ⅰ）畫出這個(gè)幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）；（Ⅱ）求這個(gè)幾何體的表面積及體積；（Ⅲ）設(shè)異面直線與所成的角為，求．圖1－1俯視圖正視圖側(cè)視圖解：（Ⅰ）這個(gè)幾何體的直觀圖如圖1－2所示．（Ⅱ）這個(gè)幾何體是直三棱柱．圖1－2由于底面的高為1，所以．故所求全面積　　　　　?。@個(gè)幾何體的體積（Ⅲ）因?yàn)?，所以與所成的角是．　　　在中，，　　　故

2、．2．（人教A版，必修2，P20．例3）如圖2，已知幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖．圖2俯視圖正視圖側(cè)視圖變式題2－1．如圖2－1．已知幾何體的三視圖（單位：cm）．（Ⅰ）畫出它的直觀圖（不要求寫畫法）；（Ⅱ）求這個(gè)幾何體的表面積和體積．圖2－1正視圖側(cè)視圖俯視圖解（Ⅰ）這個(gè)幾何體的直觀圖如圖2－2所示．（Ⅱ）這個(gè)幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，它的下部是一個(gè)圓柱（底面半徑為1cm，高為2cm），它的上部是一個(gè)圓錐（底面半徑為1cm，母線長(zhǎng)為2cm，高為cm）．所以所求表面積，圖2－2所求體積．變式題2－2．如圖2－3，已知幾何體的三視圖（

3、單位：cm）．（Ⅰ）畫出這個(gè)幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）；（Ⅱ）求這個(gè)幾何體的表面積及體積；（Ⅲ）設(shè)異面直線、所成角為，求．（理科考生）俯視圖正視圖側(cè)視圖圖2－3解：（Ⅰ）這個(gè)幾何體的直觀圖如圖2－4所示．?。á颍┻@個(gè)幾何體可看成是由正方體及直三棱柱的組合體．圖2－4由，，可得．故所求幾何體的全面積所求幾何體的體積（Ⅲ）由，且，可知，故為異面直線、所成的角（或其補(bǔ)角）．由題設(shè)知，，取中點(diǎn)，則，且，．由余弦定理，得　　　　　　　　　　　　　　　?。?．（北師大版．必修2．P31．第4題）如圖3，已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱和棱上的點(diǎn)，且，求證：四

4、邊形是平行四邊形圖3變式題：如圖3－1．已知、分別是正方體的棱和棱的中點(diǎn)．圖3－2（Ⅰ）試判斷四邊形的形狀；（Ⅱ）求證：平面平面．解（Ⅰ）如圖3－2，取的中點(diǎn)，連結(jié)、．∵、分別是和的中點(diǎn)，圖3－1∴，在正方體中，有，　∴，∴四邊形是平行四邊形，∴．又、分別是、的中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．故．∴四邊形是平行四邊形．又≌，∴，故四邊形為菱形．（Ⅱ）連結(jié)、、．∵四邊形為菱形，∴．在正方體中，有，∴平面．又平面，∴．又，∴平面．又平面，故平面平面4．（人教A版，必修2，P74．例2）圖4如圖4，在正方體中，求直線與平面所成的角．圖4－1變式題

5、：如圖4－1，已知正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱的長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)作的的垂線交側(cè)棱于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求與平面所成的角的正弦值．解：（Ⅰ）如圖4－2，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系．∴．設(shè)，則．圖4－2∵，∴．∴，∴，．又，∴且．∴且．∴且．∴平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面的一個(gè)法向量，又，∴．∴與平面所成角的正弦值為．5．（人教A版，必修2，P87，第10題）如圖5，已知平面，且是垂足，試判斷直線與的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．圖5圖5－1變式題5－1，如圖5，已知平面，且是垂足．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，試判斷

6、平面與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．變式題5－1，如圖5，已知平面，且是垂足．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，試判斷平面與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解（Ⅰ）因?yàn)?，所以．同理．又，故平面．（Ⅱ）設(shè)與平面的交點(diǎn)為，連結(jié)、．因?yàn)槠矫?，所以，所以是二面角的平面角．又，所以，即．在平面四邊形中，，所以．故平面平面．圖5－2變式題5－2．如圖5－1，已知直二面角，與平面、所成的角都為，．為垂足，為垂足．（Ⅰ）求直線與所成角的大??；（Ⅱ）求四面體的體積．解：（Ⅰ）如圖5－2，在平面內(nèi)，作，連結(jié)、．則四邊形為平行四邊形，所以，即為直線與所成的角（或其補(bǔ)角）

7、．因?yàn)椋裕恚峙c平面、所成角為，所以，，所以，．在中，，從而．因?yàn)椋覟槠叫兴倪呅?，所以．又，所以．故平面，從而．在中，．所以，即直線與所成角的大小為．（Ⅱ）在中，，所以．三角形的面積，故四面體的體積．6．（人教A版，必修2，P87，B組第1題）如圖5，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，求證：．（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積．圖6變式題．如圖5－1，在矩形中，是的中點(diǎn)，以為折痕將向上折起，使為，且平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．圖6－1解（Ⅰ）在中，，在中，，∵

8、，∴．∵平面平面，且交線為，圖6－2∴平面．∵平面，∴．（Ⅱ）設(shè)與相交于點(diǎn)，由（Ⅰ）知，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面，且交線為，如圖6－2，作，垂足